Решим уравнение ( |x| + x^6 = 0 ).

Рассмотрим модуль:

Если ( x \geq 0 ), то ( |x| = x ). В этом случае уравнение превращается в:
[
x + x^6 = 0
]
Здесь ( x(1 + x^5) = 0 ). Это уравнение равно нулю, если ( x = 0 ) или ( 1 + x^5 = 0 ). Поскольку ( 1 + x^5 ) всегда положительно для ненегативных ( x ), решение для ( x \geq 0 ) — это только ( x = 0 ).

Если ( x < 0 ), то ( |x| = -x ). В этом случае уравнение становится:
[
-x + x^6 = 0
]
Это можно переписать как:
[
x^6 = x
]
Переносим все в одну сторону:
[
x^6 - x = 0
]
Факторизуем:
[
x(x^5 - 1) = 0
]
У нас есть два возможных решения: ( x = 0 ) или ( x^5 - 1 = 0 ). Из второго уравнения получается ( x^5 = 1 ) и, следовательно, ( x = 1 ).

Однако, так как мы рассматриваем случай ( x < 0 ), ( x = 1 ) не подходит.

Заключение: После анализа всех случаев, единственное решение уравнения:
[
\boxed{0}
]