Обозначим трёхзначное число, которое написала Катя, как ( x ). Это число можно представить в виде ( 100a + 10b + c ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — это цифры числа (цифра ( a ) не может быть равна нулю, так как это трёхзначное число).

Когда Катя добавила цифру 3 в конце, получившееся четырёхзначное число можно записать как ( 10x + 3 ).

Если стереть первую цифру этого четырёхзначного числа, то останется число ( 10x + 3 - 1000a ). Поскольку ( 10x + 3 ) — это число в формате четырёхзначного, первая цифра равна ( a ) (то есть 1000a — это величина, которая берёт в расчёт первую цифру).

По условию задачи, после удаления первой цифры должно остаться ровно половина исходного трёхзначного числа ( x ):
[
10x + 3 - 1000a = \frac{x}{2}.
]

Умножим обе стороны уравнения на 2 для избавления от дробей:
[
2(10x + 3 - 1000a) = x.
]
Это упростится до:
[
20x + 6 - 2000a = x.
]
Теперь перенесем ( x ) влево:
[
20x - x + 6 - 2000a = 0.
]
Упрощаем уравнение:
[
19x + 6 - 2000a = 0,
]
или
[
19x = 2000a - 6.
]
Следовательно:
[
x = \frac{2000a - 6}{19}.
]

Поскольку ( x ) — это трёхзначное число, оно должно находиться в диапазоне от 100 до 999:
[
100 \leq \frac{2000a - 6}{19} \leq 999.
]

Теперь решим каждую часть этого неравенства.

Для левой части:
[
100 \leq \frac{2000a - 6}{19} \Rightarrow 1900 \leq 2000a - 6 \Rightarrow 1906 \leq 2000a \Rightarrow \frac{1906}{2000} \leq a.
]

Поскольку ( a ) — целая цифра от 1 до 9, вычисляем:
[
a \geq 1.
]

Для правой части:
[
\frac{2000a - 6}{19} \leq 999 \Rightarrow 2000a - 6 \leq 18981 \Rightarrow 2000a \leq 18987 \Rightarrow a \leq \frac{18987}{2000} \approx 9.4935.
]

Поскольку ( a ) — целая цифра, получаем:
[
a \leq 9.
]

Таким образом, ( a ) может принимать значения от 1 до 9.

Теперь нужно протестировать каждое целое значение ( a ) от 1 до 9, чтобы узнать, при каком ( a ) получится целое трёхзначное число ( x ).

Подставим ( a ):

( a = 1 ): ( x = \frac{2000 \cdot 1 - 6}{19} = \frac{1994}{19} = 104 ).( a = 2 ): ( x = \frac{2000 \cdot 2 - 6}{19} = \frac{3994}{19} = 210 ).( a = 3 ): ( x = \frac{2000 \cdot 3 - 6}{19} = \frac{5994}{19} = 315 ).( a = 4 ): ( x = \frac{2000 \cdot 4 - 6}{19} = \frac{7994}{19} = 421 ).( a = 5 ): ( x = \frac{2000 \cdot 5 - 6}{19} = \frac{9994}{19} = 526 ).( a = 6 ): ( x = \frac{2000 \cdot 6 - 6}{19} = \frac{11994}{19} = 632 ).( a = 7 ): ( x = \frac{2000 \cdot 7 - 6}{19} = \frac{13994}{19} = 737 ).( a = 8 ): ( x = \frac{2000 \cdot 8 - 6}{19} = \frac{15994}{19} = 842 ).( a = 9 ): ( x = \frac{2000 \cdot 9 - 6}{19} = \frac{17994}{19} = 947 ).

Теперь варианты для ( x ):

( x = 104 ),( x = 210 ),( x = 315 ),( x = 421 ),( x = 526 ),( x = 632 ),( x = 737 ),( x = 842 ),( x = 947 ).

Теперь проверим, соответствует ли условию задачи для какого-либо из значений это.

Проверим, например, ( x = 315 ):
[
10x + 3 = 10 \cdot 315 + 3 = 3150 + 3 = 3153.
]
Стерем первую цифру:
[
3153 - 3000 = 153.
]
Проверяем:
[
\frac{315}{2} = 157.5, \quad \text{не подходит.}
]

Проверяем ( x = 421 ):
[
10x + 3 = 10 \cdot 421 + 3 = 4210 + 3 = 4213.
]
Стерем первую цифру:
[
4213 - 4000 = 213.
]
Проверяем:
[
\frac{421}{2} = 210.5, \quad \text{не подходит.}
]

Попробуем ( x = 842 ):
[
10x + 3 = 10 \cdot 842 + 3 = 8420 + 3 = 8423.
]
Стерем первую цифру:
[
8423 - 8000 = 423.
]
Проверяем:
[
\frac{842}{2} = 421, \quad \text{сходится!}
]

Таким образом, число, которое написала Катя вначале:
[
\boxed{842}.
]