Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} ), необходимо определить, когда выражение под квадратным корнем неотрицательно, то есть решить неравенство:

[
x^2 - 4x + 3 \geq 0.
]

Сначала найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - 4x + 3 = 0 ). Используя формулу для решения квадратных уравнений:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},
]

где ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 3 ), и ( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 ).

Корни уравнения:

[
x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}.
]

Это дает нам два корня:

[
x_1 = \frac{6}{2} = 3,\quad x_2 = \frac{2}{2} = 1.
]

Теперь мы знаем, что выражение ( x^2 - 4x + 3 ) имеет корни ( x = 1 ) и ( x = 3 ). Чтобы определить, где выражение больше или равно нулю, исследуем знаки на интервалах, образованных этими корнями:

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

Для интервала ( (-\infty, 1) ), например, ( x = 0 ):
[
0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \quad (> 0).
]

Для интервала ( (1, 3) ), например, ( x = 2 ):
[
2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \quad (< 0).
]

Для интервала ( (3, +\infty) ), например, ( x = 4 ):
[
4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \quad (> 0).
]

Теперь мы можем заключить, что ( x^2 - 4x + 3 \geq 0 ) на интервалах:

[
(-\infty, 1] \cup [3, +\infty).
]

Таким образом, область определения функции:
[
D = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty).
]