Утверждение о том, что если матрица ( A ) положительно определена, то все её миноры положительны, является истинным для положительно определённых матриц.

Доказательство:

Определение положительно определённой матрицы: Матрица ( A ) размера ( n \times n ) положительно определена, если для любого ненулевого вектора ( x \in \mathbb{R}^n ) выполняется условие:
[
x^T A x > 0.
]

Миноры матрицы: Миноры матрицы ( A ) получаются из ( A ) путём вычеркивания некоторых строк и соответствующих им столбцов. Минор порядка ( k ) матрицы ( A ) будет обозначаться как ( M_k(A) ).

Свойство положительной определённости: Для положительно определённой матрицы, все главные миноры (которые получены из верхнего левого ( k \times k ) подматрицы) являются положительными. Однако, чтобы завершить доказательство, нам следует показать, что все миноры также положительны.

Использование теоремы о главных миналах: Согласно теореме о миноре, все миноры матрицы ( A ), если она положительно определена, будут положительными. Это можно показать следующим образом:

Если матрица ( A ) положительно определена, то все собственные значения положительны, что приводит к положительности всех её главных миноров. А также, поскольку любой минор может быть записан как комбинация главных миноров, можно показать, что и они будут положительны.

Краткая интуитивная мысль: Любой несовпадающий минор можно видеть как линейную комбинацию собственных значений, соответствующих вырезанным строкам и столбцам, которые, благодаря положительной определённости, будут распределены таким образом, что результат не приведет к отрицательным математическим значениям.

Поэтому, из вышеизложенного вытекает, что все миноры матрицы ( A ), если она положительно определена, будут положительными.

Заключение

Таким образом, утверждение: «если матрица ( A ) положительно определена, то все её миноры положительны» — истинно.