Да, утверждение верно, и его можно доказать следующим образом.

Для начала, определим, что такое симметрическая и кососимметрическая матрицы:

Симметрическая матрица ( A ) удовлетворяет условию ( A^T = A ), где ( A^T ) — транспонированная матрица.Кососимметрическая матрица ( B ) удовлетворяет условию ( B^T = -B ).

Теперь, пусть у нас есть произвольная матрица ( C ) размера ( n ) с комплексными коэффициентами.

Мы можем представить матрицу ( C ) как сумму ее симметрической и кососимметрической частей следующим образом:

[
C = \frac{1}{2}(C + C^T) + \frac{1}{2}(C - C^T)
]

Обозначим:

Симметрическая часть ( A = \frac{1}{2}(C + C^T) )Кососимметрическая часть ( B = \frac{1}{2}(C - C^T) )

Теперь покажем, что ( A ) симметрическая, а ( B ) кососимметрическая.

Доказательство симметричности:

Для матрицы ( A ):

[
A^T = \left(\frac{1}{2}(C + C^T)\right)^T = \frac{1}{2}(C^T + (C^T)^T) = \frac{1}{2}(C^T + C) = A
]

Это показывает, что ( A ) симметрическая.

Доказательство кососимметричности:

Теперь рассмотрим матрицу ( B ):

[
B^T = \left(\frac{1}{2}(C - C^T)\right)^T = \frac{1}{2}(C^T - (C^T)^T) = \frac{1}{2}(C^T - C) = -B
]

Это показывает, что ( B ) кососимметрическая.

Таким образом, произвольная матрица ( C ) может быть представлена как сумма симметрической матрицы ( A ) и кососимметрической матрицы ( B ):

[
C = A + B
]

Таким образом, утверждение о том, что каждая матрица размера ( n ) с комплексными коэффициентами представляет собой сумму симметрической и кососимметрической матриц, является верным.