Углы между плоскостями и их взаимное расположение играют важную роль в геометрии и стереометрии. Рассмотрим, как можно определить угол между двумя плоскостями с помощью их нормалей.

Нормали к плоскостямОпределение нормали: Нормаль к плоскости — это вектор, перпендикулярный к данной плоскости. Если две плоскости заданы уравнениями:
( A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 ) (первая плоскость),( A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 ) (вторая плоскость),
то их нормали ( \vec{N_1} ) и ( \vec{N_2} ) будут соответственно:
[
\vec{N_1} = (A_1, B_1, C_1), \quad \vec{N_2} = (A_2, B_2, C_2).
]Определение угла между плоскостями

Угол между нормалями: Угол ( \theta ) между двумя плоскостями можно определить через угол между их нормалями. Этот угол можно найти с помощью скалярного произведения векторов нормалей:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|}.
]

Здесь ( \vec{N_1} \cdot \vec{N_2} ) — это скалярное произведение векторов нормалей, а ( |\vec{N_1}| ) и ( |\vec{N_2}| ) — их длины (модули).

Расчет угла: Угол ( \theta ) можно выразить как:
[
\theta = \arccos\left( \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|} \right).
]

Пример

Рассмотрим две плоскости:

Плоскость 1: ( x + 2y + 3z + 4 = 0 ) (норма ( \vec{N_1} = (1, 2, 3) )),Плоскость 2: ( 2x + y - z - 5 = 0 ) (норма ( \vec{N_2} = (2, 1, -1) )).

Скалярное произведение:
[
\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 2 + 2 - 3 = 1.
]

Длины нормалей:
[
|\vec{N_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14},
]
[
|\vec{N_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.
]

Угол между плоскостями:
[
\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} \Rightarrow \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{84}}\right).
]

Таким образом, мы нашли угол между двумя плоскостями через их нормали.

Заключение

Угол между плоскостями можно трактовать через углы между их нормалями. Этот метод применения нормалей является мощным инструментом в изучении трехмерной геометрии.