Функция ( f(x) = \ln(1+x) ) может быть разложена в степенной ряд с использованием производных или путем нахождения ряда. Мы можем воспользоваться известным разложением для функции ( \ln(1+x) ).

Разложение в степенной ряд

Функция ( \ln(1+x) ) можно разложить в ряд Тейлора около точки ( x = 0 ):

[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \ldots
]

или более формально:

[
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1.
]

Обсуждение радиуса сходимости

Для данного ряда радиус сходимости определяется по формуле Коши-Гаджета или с помощью теста ratio. В данном случае, мы видим, что:

Члены ряда имеют вид ( a_n = (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} ).Применяя тест радикала:

[
\limsup_{n \to \infty} |an|^{1/n} = \limsup{n \to \infty} \left| \frac{x^n}{n} \right|^{1/n} = |x|.
]

Ряд сходится, когда ( |x| < 1 ). Таким образом, радиус сходимости равен 1.

Скорость сходимости

Скорость сходимости этого ряда можно оценить, применяя тесты сходимости. Ряд имеет чередующийся знак, и для малых значений ( x ) члены быстро уменьшаются, что обеспечивает хорошую скорость сходимости.

Согласно признаку Лейбница, ряд будет сходиться для ( |x| < 1 ) при условии, что члены ( |an| = \frac{|x|^n}{n} ) убывают и ( \lim{n \to \infty} a_n = 0 ). Это хорошо соблюдается в пределах радиуса сходимости.

Таким образом, разложение в степенной ряд функции ( f(x) = \ln(1+x) ) выглядит как:

[
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1,
]

и мы получили радиус сходимости 1, а скорость сходимости будет хорошей для значений ( x ) близких к 0.