Метод доказательства неравенств для сумм ограниченного набора чисел с фиксированной суммой часто основан на использовании неравенств типа Коши — Шварца, или неравенств о средних. Этот метод позволяет устанавливать границы для некоторых выражений, исходя из заданных условий.

Одним из классических неравенств, применяемых в таких задачах, является неравенство о средних (AM-GM), согласно которому для любых неотрицательных чисел ( a_1, a_2, \ldots, a_n ) справедливо:

[
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
]

Если сумма ( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S ) фиксирована, то можно выразить одно из чисел через другие.

Пример оптимизации

Рассмотрим задачу: необходимо максимизировать произведение двух неотрицательных чисел ( x ) и ( y ) при условии, что их сумма равна ( S ) (т.е. ( x + y = S )).

Определим функционал: нужно максимизировать ( P = x \cdot y ).Заменим одно из чисел: выражаем ( y ) через ( x ): ( y = S - x ).Подставим в функционал:

[
P = x(S - x) = Sx - x^2
]

Найдем максимум: производная от ( P ) равна ( S - 2x ). Приравняем к нулю:

[
S - 2x = 0 \implies x = \frac{S}{2}
]

Найдём значение ( y ): подставив обратно, получаем ( y = S - x = \frac{S}{2} ).

Значение произведения:

[
P_{max} = \left(\frac{S}{2}\right) \left(\frac{S}{2}\right) = \frac{S^2}{4}
]

Таким образом, произведение двух чисел ( x ) и ( y ) при фиксированной сумме ( S ) максимизируется, когда оба числа равны ( \frac{S}{2} ).

Этот пример демонстрирует, как использование неравенства о средних позволяет оптимизировать выражения с заданными ограничениями и фиксированной суммой.