Для оценки вероятности того, что число успехов в процессе Бернулли отличается от среднего значения более чем на 3 стандартных отклонения, можно воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения.

Процесс Бернулли представляет собой последовательность независимых испытаний, в каждом из которых наступает успех с вероятностью ( p ) и неудача с вероятностью ( 1 - p ). Если мы рассматриваем ( n ) испытаний, число успехов ( X ) распределено по биномиальному закону ( Binomial(n, p) ).

Шаги для оценки:

Среднее значение и стандартное отклонение:

Среднее значение (математическое ожидание) числа успехов:
[
E(X) = np.
]Стандартное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{np(1 - p)}.
]

Нормальное приближение:
Для больших ( n ) распределение ( X ) можно аппроксимировать нормальным распределением:
[
X \sim N(np, np(1 - p)).
]

Выражение для оценки вероятности:
Необходимо найти вероятность того, что число успехов отличается от среднего более чем на 3 стандартных отклонения:
[
P(|X - np| > 3\sigma).
]
Это можно записать как:
[
P(X < np - 3\sigma) + P(X > np + 3\sigma).
]

Переход к стандартной нормальной переменной:
Воспользуемся стандартным нормальным распределением ( Z ):
[
Z = \frac{X - np}{\sigma}.
]
Тогда вероятность преобразуется в:
[
P(Z < -3) + P(Z > 3) = 2P(Z > 3).
]

Стандартные нормальные таблицы:
Найдите ( P(Z > 3) ) в стандартной нормальной таблице. Обычно это значение значительно меньше 0.001 (приблизительно это 0.00135).

Итог:
Таким образом, искомая вероятность составляет примерно:
[
P(|X - np| > 3\sigma) \approx 2 \cdot 0.00135 = 0.0027.
]

Этот подход позволяет оценить вероятность того, что число успехов в процессе Бернулли отклонится от среднего более чем на 3 стандартных отклонения. Для малых ( n ) или ( p ) близкого к 0 или 1, нормальное приближение будет менее точным и могут понадобиться точные биномиальные вычисления или другие подходы.