Ряд Тейлора сходится условно, если он сходится, но ряд абсолютных значений этого ряда расходится. Поведение такого ряда обусловлено тем, что знаки членов в ряду могут "балансировать" друг друга, позволяя ряду сходиться при отсутствии абсолютной сходимости.

Одним из известных примеров функции, для которой ряд Тейлора сходится условно, является функция ( f(x) = \ln(1+x) ) в окрестности точки ( x = 0 ). Расширение этой функции в ряд Тейлора имеет вид:

[
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \quad \text{для } |x| < 1.
]

Этот ряд сходится условно на интервале ((-1, 1)), потому что:

Для ( x = 0 ) ряд полностью равен 0.Для ( x ) в интервале ((-1, 1)) ряд сходится к ( \ln(1+x) ).

Однако, если рассмотреть абсолютные значения, получаем ряд:

[
\sum{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \right| = \sum{n=1}^{\infty} \frac{|x|^n}{n},
]

который сходится только для ( |x| < 1 ) и в случае ( |x|=1 ) (т.е. при ( x = 1 ), это ( \sum \frac{1}{n} ), который является гармоническим рядом и расходится). Таким образом, ряд ( f(x) = \ln(1+x) ) сходится условно в интервале ((-1, 1)), но расходится абсолютно.

Таким образом, ряд Тейлора для функции ( \ln(1+x) ) является примером ряда, который сходится условно.