Алгоритм быстрого возведения в степень методом "двойного и суммирования" (также известным как метод "разделяй и властвуй" или метод "вещественных степеней") позволяет эффективно вычислять степень числа, особенно при больших значениях степени. Основная идея заключается в том, чтобы минимизировать количество умножений, используя двоичное представление экспоненты.

Алгоритм

Двоичное представление степени:
Если мы хотим вычислить ( a^n ), мы сначала представляем ( n ) в двоичном виде. Это позволяет разбить задачу на подзадачи.

Половинное деление:
Если ( n ) четное, то:
[
a^n = (a^{n/2})^2
]
Если ( n ) нечетное, то:
[
a^n = a \cdot a^{n-1} = a \cdot (a^{(n-1)/2})^2
]

Рекурсивный подход:
Этот процесс продолжается, пока ( n ) не станет равным 0 или 1. Условие базового случая:

( a^0 = 1 )( a^1 = a )Пример

Рассмотрим возведение числа 2 в степень 13:

Двоичное представление 13 — это 1101.Используя нашем алгоритм, мы можем разложить его:
( 2^{13} = 2 \cdot (2^{6})^2 )( 2^6 = (2^3)^2 )( 2^3 = 2 \cdot (2^1)^2 )и так далее.Сложность

Сложность алгоритма быстрого возведения в степень можно оценить следующим образом:

Количество умножений:

В худшем случае количество умножений будет пропорционально количеству разрядов в двоичном представлении числа ( n ). Так как двоичное представление числа содержит ( O(\log n) ) разрядов, то общее количество умножений будет ( O(\log n) ).

Временная сложность:

Таким образом, временная сложность алгоритма составляет ( O(\log n) ). Это значительно быстрее, чем наивный алгоритм, который имеет сложность ( O(n) ).Итог

Метод "двойного и суммирования" значительно сокращает количество операций, необходимых для возведения числа в степень, что делает его подходящим для работы с большими числами и степенями. Он находит широкое применение в криптографии, числовых методах и многих других областях, где требуется работа с большими числами.