Когда градиент функции двух переменных равен нулю вдоль линии, это означает, что вектор градиента в каждой точке этой линии имеет нулевое значение. Это является важным аспектом анализа критических точек функции. С точки зрения анализа критических точек, можно выделить несколько возможных ситуаций:

Условие максимума, минимума или седловой точки: Если градиент равен нулю в точке, это может означать, что в этой точке может находиться локальный максимум, локальный минимум или седловая точка. Необходимо провести вторичный тест (вторые производные) для анализа кривизны функции и определения типа критической точки.

Дегерация: Если градиент функции равен нулю вдоль линии, это может указывать на наличие линий нестабильности, где функция не изменяется в одном направлении, но ее значения могут изменяться в перпендикулярном направлении. Это может происходить в эффекте многозначности.

Цилиндрические или плоские области: В некоторых случаях функция может иметь плоскости или линии (например, потенциальные энергии в физике), вдоль которых градиент равен нулю. В таких случаях важно исследовать поведение функции вдоль этих линий.

Непостоянные градиенты: Если мы рассматриваем не только точки, но и отдельные линии, вдоль которых градиент имеет нулевое значение, это может указывать на то, что функция имеет плоские участки или специальные структуры.

Для более полного анализа необходима дополнительная информация о функции и её поведении в других направлениях, нежели только вдоль линии, на которой градиент равен нулю. Это может включать вычисление Гессиана функции и исследование его собственных значений для определения локальных экстремумов или седловых точек.