Неравенство между средними арифметическим (A), геометрическим (G) и гармоническим (H) можно записать так:

[
A \geq G \geq H
]

для произвольного набора положительных чисел.

Чтобы доказать это неравенство с помощью неравенства Йенсена, начнем с определения этих средних для ( n ) положительных чисел ( x_1, x_2, \ldots, x_n ).

Среднее арифметическое:

[
A = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}
]

Среднее геометрическое:

[
G = (x_1 x_2 \ldots x_n)^{1/n}
]

Среднее гармоническое:

[
H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}
]

Шаг 1: Неравенство между арифметическим и геометрическим

Для доказательства ( A \geq G ) можно воспользоваться неравенством Йенсена для функции ( f(x) = \ln(x) ), которая является выпуклой для ( x > 0 ).

Поскольку ( f(x) ) выпуклая, по неравенству Йенсена имеем:

[
f\left(\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)}{n}
]

Переписываем это в терминах средних:

[
\ln\left(A\right) \leq \frac{\ln(x_1) + \ln(x_2) + \ldots + \ln(x_n)}{n}
]

И exponentiating обе стороны, получим:

[
A \leq e^{\frac{\ln(x_1) + \ln(x_2) + \ldots + \ln(x_n)}{n}} = (x_1 x_2 \ldots x_n)^{1/n} = G
]

Шаг 2: Неравенство между геометрическим и гармоническим

Теперь докажем ( G \geq H ). Для этого также применим неравенство Йенсена, но для функции ( f(x) = \frac{1}{x} ), которая является выпуклой на ( (0, \infty) ).

По неравенству Йенсена имеем:

[
\frac{1}{H} = \frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}{n} \geq \frac{1}{G}
]

Следовательно,

[
H \leq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{n / G} = G
]

Заключение

Таким образом, мы показали, что:

[
A \geq G \geq H
]

Отсюда следует, что неравенство между средними арифметическим, геометрическим и гармоническим действительно выполняется.