Неравенство Маркова — это важный инструмент теории вероятностей, позволяющий оценивать вероятность больших отклонений случайной величины от её математического ожидания. Для начала рассмотрим базовый пример применения неравенства Маркова и затем предложим улучшения с использованием более точных оценок.

Пример применения неравенства Маркова

Рассмотрим некую неотрицательную случайную величину (X) с математическим ожиданием (\mathbb{E}[X] = \mu). Неравенство Маркова гласит:

[
P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \quad \text{для } a > 0.
]

Пример:

Пусть (X) — это случайная величина, представляющая количество ошибок на тесте, с (\mathbb{E}[X] = 5). Мы хотим оценить вероятность того, что количество ошибок (X) превысит 10.

Применяя неравенство Маркова, получаем:

[
P(X \geq 10) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{10} = \frac{5}{10} = 0.5.
]

Таким образом, мы пришли к оценке вероятности (P(X \geq 10) \leq 0.5).

Улучшения

Несмотря на то, что неравенство Маркова полезно, оно может давать довольно грубые оценки. Для улучшения точности можно использовать другие неравенства, такие как неравенство Чебышёва или неравенство Хёффдинга, если известна дисперсия случайной величины.

Неравенство Чебышёва

Если у нас есть дополнительно информация о дисперсии (\sigma^2) случайной величины (X), мы можем использовать неравенство Чебышёва:

[
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.
]

Это дает более точные оценки, особенно когда (k) велико.

Пример:

Если (\sigma^2 = 4) (т.е. (\sigma = 2)), и мы хотим оценить вероятность того, что (X) отклонится от своего среднего на более чем 10:

[
k = \frac{10}{2} = 5.
]

По неравенству Чебышёва:

[
P(|X - 5| \geq 10) \leq \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04.
]

Неравенство Хёффдинга

Для более строгих оценок, особенно для независимых случайных величин, можно использовать неравенство Хёффдинга, которое даёт оценки для аддитивных функций случайных величин.

Заключение

Неравенство Маркова является полезным инструментом, но в случаях, когда доступны дополнительные характеристики распределения, такие как дисперсия или независимость, стоит использовать более мощные неравенства, такие как Чебышёва или Хёффдинга. Это позволит получить более точные и полезные оценки вероятностей больших отклонений.