Для произвольного многочлена можно определить кратность корня, анализируя поведение функции в окрестности этого корня. Кратность корня ( r ) многочлена ( P(x) ) — это число, обозначающее, сколько раз корень ( r ) встречается в разложении многочлена на линейные множители. Если многочлен ( P(x) ) можно представить в виде:

[
P(x) = (x - r)^k Q(x)
]

где ( Q(r) \neq 0 ), то ( r ) является корнем с кратностью ( k ).

Определение кратности корня:

Графический подход:

Если кратность корня ( k ) нечётная (например, 1, 3, 5 и т.д.), то график функции будет пересекать ось абсцисс в точке ( r ). Это значит, что при движении вдоль оси ( x ) функция меняет знак.Если кратность корня ( k ) чётная (например, 2, 4, 6 и т.д.), то график будет касаться оси абсцисс в точке ( r ), но не будет её пересекать. В этом случае функция не меняет знак.

Аналитический подход:

Можно взять производную многочлена, и если ( P(r) = 0 ) и ( P'(r) = 0 ), то корень кратный как минимум 2.Если ( P''(r) = 0 ) также, то корень кратный как минимум 3, и так далее.В общем случае, если ( P^{(m)}(r) = 0 ), но ( P^{(m+1)}(r) \neq 0 ), корень ( r ) имеет кратность ( m ).Воздействие на график функции:

Кратность 1 (нечётная): график проходит через ( (r, 0) ) и выглядит "похожим" на линию, пересекающую ось.

Кратность 2 (чётная): график касается оси абсцисс, образуя "гладкую" точку касания, и возвращается обратно.

Кратность 3 (нечётная): график проходит через ось с более выраженным изгибом, по сравнению с кратностью 1.

Кратность 4 (чётная): график касается оси, иногда образуя выпуклость в обоих направлениях, в зависимости от ведущего коэффициента.

Таким образом, кратность корня многочлена напрямую влияет на то, как график этого многочлена ведёт себя в точке, соответствующей корню.