Давайте рассмотрим последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ) и докажем, что она монотонно убывает и сходится к нулю.

Доказательство монотонности

Чтобы показать, что последовательность ( a_n ) является монотонно убывающей, нам нужно доказать, что для всех ( n ) справедливо:

[
an \geq a{n+1}
]

Подставим значения:

[
\frac{1}{n} \geq \frac{1}{n+1}
]

Умножив обе части неравенства на ( n(n+1) ) (что положительно для ( n \geq 1 )), получаем:

[
(n+1) \geq n
]

Это утверждение верно для всех ( n \geq 1 ). Следовательно, последовательность ( a_n ) монотонно убывает.

Доказательство сходимости к нулю

Чтобы показать, что последовательность ( a_n ) сходится к нулю, мы можем воспользоваться определением предела. Мы хотим показать, что для любого ( \epsilon > 0 ) существует такое ( N ), что для всех ( n > N ) выполняется:

[
|a_n - 0| < \epsilon
]

То есть:

[
\frac{1}{n} < \epsilon
]

Решая неравенство ( \frac{1}{n} < \epsilon ), получаем:

[
n > \frac{1}{\epsilon}
]

Следовательно, если мы выбираем ( N = \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil ), то для всех ( n > N ) справедливо:

[
\frac{1}{n} < \epsilon
]

Таким образом, последовательность ( a_n ) сходится к нулю.

Дополнительные свойства

Непрерывность и дифференцируемость функции: Можно рассмотреть функцию ( f(x) = \frac{1}{x} ) на интервале ( (0, \infty) ). Она является непрерывной и монотонно убывающей на этом интервале, и её предел при ( x \to \infty ) равен 0.

Ограниченность: Последовательность ( a_n ) является ограниченной снизу, так как ( a_n > 0 ) для всех ( n \geq 1 ).

Сравнение с другими последовательностями: Можно показать, что ( a_n = \frac{1}{n} ) быстрее убывает по сравнению с некоторыми другими последовательностями, например, ( b_n = \frac{1}{n^2} ).

Применение к рядам: Последовательность ( an ) используется в изучении рядов, таких как ряд гармонических чисел. Например, можно изучать сходимость ряда ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ), который расходится.

Монте-Карло методы: Последовательность также может встречаться в статистических методах, где используется для оценки вероятностей и средних значений.

Эти доказательства и свойства показывают, что последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ) является важным концептом как в чистой математике, так и в приложениях.