Для доказательства существования решения уравнения ( f(x) = g(x) ) на отрезке ([a, b]) можно использовать теорему Больцано, которая утверждает, что если функция непрерывна на отрезке ([a, b]) и принимает на концах отрезка разные знаки, то она имеет хотя бы одну точку пересечения с осью абсцисс на данном отрезке.

Давайте рассмотрим шаги, необходимые для применения этой теоремы:

Определение новой функции: Для уравнения ( f(x) = g(x) ) можно ввести новую функцию ( h(x) = f(x) - g(x) ). Тогда задача сводится к поиску корней уравнения ( h(x) = 0 ).

Проверка непрерывности: Необходимо установить, что функция ( h(x) ) является непрерывной на отрезке ([a, b]). Это можно сделать, если функции ( f(x) ) и ( g(x) ) непрерывны на этом отрезке, поскольку разность непрерывных функций также непрерывна.

Оценка значений функции на концах отрезка: Вычисляем значения функции ( h ) на концах отрезка:
[
h(a) = f(a) - g(a)
]
[
h(b) = f(b) - g(b)
]

Проверка знаков: Анализируем знаки ( h(a) ) и ( h(b) ):

Если ( h(a) \cdot h(b) < 0 ), то по теореме Больцано существует хотя бы одна точка ( c \in (a, b) ), такая что ( h(c) = 0 ). Это будет означать, что ( f(c) = g(c) ).

Заключение: Если знаки ( h(a) ) и ( h(b) ) различны, то мы можем утверждать о существовании решения уравнения ( f(x) = g(x) ) на отрезке ([a, b]).

В случае, если ( h(a) ) и ( h(b) ) имеют одинаковый знак, утверждение о существовании решения не может быть сделано без дополнительной информации о функции ( h(x) ). Поэтому иногда необходимо провести дополнительные исследования (например, анализ на монотонность, наличие экстремумов и т.д.), чтобы выяснить поведение функции ( h(x) ) на заданном отрезке.