Правило Лопиталя — это мощный инструмент для вычисления пределов, который применяется к неопределённым видам типа ( \frac{0}{0} ) или ( \frac{\infty}{\infty} ). Чтобы корректно применить это правило, необходимо проверить несколько условий.

Условия применимости правила Лопиталя:

Неопределённая форма: Функции ( f(x) ) и ( g(x) ) должны стремиться к совершенно неопределённой форме (либо ( 0/0 ), либо ( \infty/\infty )) при ( x \to c ) (или ( x \to \infty )).

Дифференцируемость: Комплексы ( f(x) ) и ( g(x) ) должны быть дифференцируемыми в некоторой окрестности точки ( c ) (или от ( c ) до ( \infty ), если необходимо анализировать предельный переход к бесконечности), за исключением, возможно, самой точки ( c ).

Необратимость производных: Производные ( f'(x) ) и ( g'(x) ) должны существовать и, по крайней мере, в некоторых точках, не равны нулю в окрестности точки ( c ) (или на некотором интервале, если речь идёт о пределе на бесконечности).

Проверка условия применения правила Лопиталя:

Проверить, что при подстановке предельного значения ( c ) в функцию ( f(x) ) и ( g(x) ) мы получаем форму ( 0/0 ) или ( \infty/\infty ).

Проверить, что функции ( f(x) ) и ( g(x) ) дифференцируемы в окрестности точки ( c ).

Вычислить производные ( f'(x) ) и ( g'(x) ) и проверить их существование и ненулевую природу в окрестности ( c ).

Если производные ( f'(x) ) и ( g'(x) ) дают неопределенность при первом применении правила, исследовать их пределы повторно, при необходимости, пока не будет получено конечное значение.

Пример ошибки в применении:

Пример: Рассмотрим предел:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2}
]

При подстановке ( x = 0 ) мы получаем ( \frac{0}{0} ). Правило Лопиталя применимо, так как обе функции дифференцируемы в окрестности ( 0 ).

Применим правило:
[
f'(x) = \cos(x); \quad g'(x) = 2x
]
Вычисляем предел:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2x} = \frac{1}{0} \to \infty
]

Но это означает, что ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2} \to \infty ), что и является правильным результатом.

Заключение

Применение правила Лопиталя должно основываться на строгом соблюдении всех условий, иначе можно получить неверный результат или неправильно интерпретировать неопределенности. Поэтому всегда следует проверять в начале, что функция действительно подходит под условия применения правила.