Задача 1: Касательная к кривой, заданной явноУсловие

Рассмотрим кривую, заданную явно уравнением ( y = f(x) = x^2 - 4x + 3 ). Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке ( x_0 = 1 ).

Решение

Найдем координаты точки касания:
[
y_0 = f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 0
]
Точка касания: ( (1, 0) ).

Найдем производную функции, чтобы определить наклон касательной:
[
f'(x) = 2x - 4
]
Подставим ( x_0 ) в производную:
[
f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2
]
Наклон касательной: -2.

Воспользуемся уравнением касательной:
( y - y_0 = m(x - x_0) ), где ( m ) — наклон (производная).
[
y - 0 = -2(x - 1)
]
Упростим уравнение:
[
y = -2x + 2
]

АнализЭта задача проста, поскольку мы применили стандартный алгоритм нахождения касательной: нашли точку касания и производную.Возможные трудности могут возникнуть при определении точки касания, если она не входит в область определения функции или если производная в этой точке равна нулю (когда касательная горизонтальна).Задача 2: Касательная к кривой, заданной параметрическиУсловие

Рассмотрим кривую, заданную параметрически:
[
x(t) = t^2, \quad y(t) = t^3 - 3t.
]
Необходимо найти уравнение касательной к кривой в точке ( t_0 = 1 ).

Решение

Найдем координаты точки:
[
x(1) = 1^2 = 1, \quad y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2
]
Точка касания: ( (1, -2) ).

Найдем производные ( \frac{dx}{dt} ) и ( \frac{dy}{dt} ):
[
\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3.
]
Подставим ( t0 = 1 ):
[
\frac{dx}{dt}\bigg|{t=1} = 2, \quad \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = 0.
]

Найдем наклон касательной:
[
m = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{0}{2} = 0.
]

Уравнение касательной:
Касательная горизонтальна (наклон равен нулю), уравнение:
[
y = -2.
]

АнализВ данной задаче трудности могут возникнуть при нахождении производных и определении наклона касательной. Также следует быть внимательным, если производные равны нулю, так как это может оказывать влияние на свойства касательной.Если ( dx/dt ) равно нулю, уравнение касательной будет вертикальным, что также требует другого подхода для описания.Заключение

Работа с касательными к кривым, заданным явно или параметрически, требует аккуратности на каждом этапе: от нахождения точки касания до вычисления производных. Оба подхода имеют свои особенности и трудности, связанные, например, с определением угла наклона или ситуациями, когда производные равны нулю.