При выборе между методом математической индукции и доказательством через неравенства для задач на целые числа можно использовать следующие критерии:

1. Структура утвержденияМатематическая индукция: Если ваше утверждение имеет форму, которая утверждает что что-то верно для всех натуральных чисел ( n ) (например, ( P(n) ) для ( n = 1, 2, 3, \ldots )), то это может быть хорошим кандидатом для применения индукции.Неравенство: Если ваше утверждение можно формулировать в виде неравенства или требует сравнения величин, то, вероятно, будет целесообразно воспользоваться методом доказательства через неравенство.2. Простота переходаИндукция: Если вы можете легко показать базовый случай и сформулировать допустимый шаг индукции, который не приводит к сложным расчетам, индукция может быть предпочтительнее.Неравенство: Если для выполнения шага доказательства через индукцию требуется слишком много вычислений или неравенство выглядит слишком сложным, тогда может быть разумно вернуться к неравенствам.3. Известные основанияИндукция: Если вы применяете метод к известным/изученным ранее утверждениям или результатам, то индукция становится более простой, так как переход от ( n ) к ( n+1 ) может быть хорошо изучен.Неравенство: Если вы знаете, что ваше утверждение тесно связано с известными неравенствами (такими как неравенства порядка, неравенство Cauchy, неравенство Тейлора и т. д.), стоит рассмотреть использование неравенств.4. Требуемая общностьИндукция: Если вам необходимо показать, что утверждение верно для всех целых чисел (или для конкретного подмножества), индукция подходит лучше.Неравенство: Если утверждение связано с ограничением значений (например, для получения верхней или нижней границы), тогда неравенства могут быть более эффективным способом.5. Наличие контрпримеровИндукция: Если вы подозреваете, что утверждение может быть неверным для некоторых значений ( n ), но не хотите потерять общность, индукция позволяет легко провести контрпример.Неравенство: Если очевидно, что для некоторых значений неравенства не выполняются, можно сразу же опровергнуть утверждение через использование неравенства.

С учетом этих критериев, выбор метода будет более целенаправленным, и в конечном счете приведет к более эффективному доказательству.