Чтобы найти наибольшее значение функции ( f(x) ) на замкнутом отрезке ([a, b]), необходимо учесть как критические точки (те, где производная ( f'(x) = 0 ) или не существует), так и граничные точки (то есть ( a ) и ( b )). В общем случае достаточно проверки только этих точек, однако в некоторых ситуациях может потребоваться дополнительная оценка:

Критические точки и границы: В стандартном случае, если функция ( f(x) ) непрерывна на отрезке ([a, b]), следует проверить значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу ((a, b)), и в граничных точках ( f(a) ) и ( f(b) ). Наибольшее из найденных значений будет максимальным значением на отрезке.

Необходимость дополнительной оценки:

Прыгающие или разрывные функции: Если функция имеет разрывы (например, не строго ограниченные в одной из точек отрезка), нужно дополнительно оценить поведение функции в окрестностях этих разрывов.Проблемы с производной: Если ( f'(x) ) не существует в некоторых точках, лежащих в пределах отрезка, и эти точки не были учтены в оценке критических точек, следует проверить значения функции в этих точках.Точки, где функция не определена: Если в каких-либо точках отрезка функция не определена, а также в случаях, когда функция имеет вертикальные асимптоты или другие особенности, также может потребоваться дополнительная оценка.

Примеры:

Пример с непрерывной и гладкой функцией: Если функция имеет непрерывную производную и нет проблем с определением и непрерывностью на [a, b], то достаточно проанализировать критические точки и граничные значения.Пример с разрывной функцией: Для функции, определенной как кусочная или имеющей разрыв на отрезке, необходимо дополнительно проверять значения функции именно в этих разрывных точках.

В заключение, в большинстве случаев для нахождения наибольшего значения на замкнутом отрезке достаточно проверки критических и граничных точек, но в ситуациях с разрывами, особенностями или нестандартным поведением функции требуется более тщательная оценка.