При решении задач по геометрии трансформаций, таких как повороты, параллельные переносы и гомотетии, полезно использовать ряд инвариантных свойств. Эти свойства остаются неизменными при применении указанных трансформаций и могут значительно облегчить процесс доказательства. Ниже представлены основные инвариантные свойства:

Расстояние между точками: При любом из указанных преобразований сохраняются расстояния между точками. Это позволяет утверждать, что геометрические фигуры, изменяемые такими преобразованиями, сохраняют свои размеры.

Углы между прямыми: Углы, образуемые двумя прямыми, также инвариантны. Это означает, что отношения между углами сохраняются при всех трансформациях, что важно для доказательства подобия треугольников или других фигур.

Параллельность прямых: Если две прямые параллельны, то они останутся параллельными при поворотах и параллельных переносах, что может использоваться для выводов о положении фигур.

Центры симметрии и оси симметрии: При гомотетии и некоторых других преобразованиях (например, поворотах) центры и оси симметрии остаются неизменными, что можно использовать для доказательства свойств симметричных фигур.

Соотношение площадей: Для подобиных фигур каждая из сторон сохраняет пропорции, и, таким образом, площади фигур связаны между собой через их коэффициенты подобия.

Координаты вершин: При использовании координатной плоскости удобным может быть использование инвариантов, связанных с координатами, например, сохраняемость средних значений координат при параллельных переносах.

Окружности и радиусы: При гомотетии радиусы окружностей меняются, но соотношение между радиусами сохраняется.

Кривизна и характер фигур: Такие свойства, как выпуклость и невыпуклость, тоже могут сохраняться при трансформациях, что может использоваться при доказательствах.

Использование этих инвариантов может помочь в упрощении доказательств и улучшении понимания геометрических трансформаций.