Доказательство того, что интеграл от нечетной функции на симметричном отрезке равен нулю, можно построить с помощью базовых свойств нечетных функций и свойств интегралов. Вот стратегия доказательства и необходимые условия.

Определение нечетной функции

Функция ( f(x) ) называется нечетной, если для любого ( x ) выполняется равенство:
[
f(-x) = -f(x).
]

Стратегия доказательства

Определите интеграл от нечетной функции: Рассмотрим интеграл от нечетной функции ( f(x) ) на симметричном отрезке ([-a, a]):
[
I = \int_{-a}^{a} f(x) \, dx.
]

Разделите интеграл на два части: Мы можем разбить интеграл на два:
[
I = \int{-a}^{0} f(x) \, dx + \int{0}^{a} f(x) \, dx.
]

Замена переменной в первом интеграле: Сделаем замену переменной в первом интеграле: пусть ( u = -x ). Тогда ( du = -dx ), и пределы интегрирования изменятся с (-a) на (0) (при ( x = -a, u = a ) и при ( x = 0, u = 0 )):
[
\int{-a}^{0} f(x) \, dx = \int{a}^{0} f(-u)(-du) = \int_{0}^{a} f(-u) \, du.
]

Используем свойство нечетной функции: Подставляем свойство нечетности ( f(-u) = -f(u) ):
[
\int{0}^{a} f(-u) \, du = \int{0}^{a} -f(u) \, du = -\int_{0}^{a} f(u) \, du.
]

Объедините результаты: Теперь мы можем записать весь интеграл:
[
I = -\int{0}^{a} f(u) \, du + \int{0}^{a} f(u) \, du = 0.
]

Необходимые условия

Функция должна быть интегрируемой: Функция ( f(x) ) должна быть интегрируемой на отрезке ([-a, a]).

Функция должна быть нечетной: ( f(x) ) должна удовлетворять свойству нечетности, то есть для всех ( x ) из области определения ( f ) должно выполняться ( f(-x) = -f(x) ).

Таким образом, мы показали, что интеграл от нечетной функции на симметричном отрезке равен нулю, если функция удовлетворяет изложенным условиям.