Использование асимптотических оценок без контроля над константами может привести к нескольким потенциальным проблемам в математическом доказательстве. Основная опасность заключается в том, что такие оценки могут быть неэквивалентными при различных условиях или в разных границах.

Потеря точности: Асимптотические оценки обычно действуют при предельных переходах, и если не учитывать константы, можно потерять важные детали, которые могут влиять на конечный результат.

Неоднозначные границы: Если оценка выглядит хорошо для больших значений, это не гарантирует, что она будет работать в случае малых значений или в других областях.

Игнорирование условий: Неправильная оценка может привести к некорректным выводам, особенно если не учитываются условия, при которых работает асимптотическая оценка.

Уточнение условий: В начале доказательства важно четко обозначить, в каких условиях применяются асимптотические оценки. Нужно зафиксировать, в каких пределах работает использованная асимптотика.

Контроль над константами: При использовании асимптотических оценок желательно приводить к ним детали о константах, особенно если они могут быть важны для аргументации. Например, вместо ( f(n) \sim g(n) ) можно указать, что ( f(n) = g(n) + O(h(n)) ) с константой, которая тоже оценивается.

Проверка границ: Необходимо проверить, как ведет себя оценка не только при стремлении к бесконечности, но и при других значениях переменной. Например, исследовать, что происходит при ( n \to 0 ) или ( n \to 1 ).

Формальный вывод: Использовать полные неравенства, чтобы показать, как результаты зависят от близости к пределу. Если asymptotical behavior зависит от дополнительных параметров, стоит включить их в дискуссию.

Классификация результатов: В конце формализуйте все результаты, обозначив, какие из них являются точными, а какие - асимптотическими, и что можно сказать о константах в каждом случае.

Следуя вышеуказанным шагам, можно минимизировать риски, связанные с использованием асимптотических оценок, и сделать доказательство более стойким и надежным.