Теорема Вейерштрасса утверждает, что любая непрерывная функция, определённая на замкнутом и ограниченном отрезке ([a, b]), достигает своих максимумов и минимумов на этом отрезке. Давайте рассмотрим шаги, которые нужно пройти для доказательства этой теоремы, и приведем пояснения к каждому шагу.

Шаг 1: Объяснение условий теоремы

Сначала необходимо уточнить, что значит "непрерывная функция" и что такое "замкнутый и ограниченный отрезок":

Непрерывная функция: Функция ( f: [a, b] \to \mathbb{R} ) называется непрерывной, если для любых ( x_n \to x ) (где ( x_n \in [a, b] )) выполняется ( f(x_n) \to f(x) ).Замкнутый и ограниченный отрезок: Отрезок ([a, b]) замкнутый, так как включает свои границы ( a ) и ( b ), и ограниченный, так как у него есть конечные пределы.Шаг 2: Показать, что множество значений функции ограничено

По свойству замкнутого и ограниченного отрезка мы знаем, что функция ( f ) на отрезке ([a, b]) будет принимать только конечное множество значений:

Поскольку функция непрерывна на замкнутом отрезке, она не может "вырваться" за пределы значений каких-либо определенных малых и больших значений.Таким образом, существует такая константа ( M ), что для всех ( x \in [a, b] ), ( |f(x)| \leq M ). Это значит, что множество значений функции ограничено.Шаг 3: Работать с набором значений функции

Мы можем рассмотреть множество значений ( f(x) ) для ( x \in [a, b] ):

Обозначим это множество как ( S = { f(x) \mid x \in [a, b] } ).Поскольку ( S ) ограничено (подтверждено на шаге 2), мы можем говорить о его верхнем и нижнем пределах, т.е. о супремуме ( \sup S ) и инфимуме ( \inf S ).Шаг 4: Определение супремума и инфимумаСупремум ( M = \sup S ) – это наименьшее верхнее значение множества ( S ).Инфимум ( m = \inf S ) – это наибольшее нижнее значение множества ( S ).Шаг 5: Доказательство существования максимумов и минимумов

Используя теорему о значениях предела при непрерывных функциям, мы можем показать, что:

Существование супремума: Поскольку множество ( S ) имеет верхнюю границу ( M ), для любого ( \epsilon > 0 ) существует ( x\epsilon \in [a, b] ) такое, что ( f(x\epsilon) > M - \epsilon ). Однако, так как функция непрерывна, и ( x_\epsilon ) можно сделать произвольно близким к точке, где ( f ) достигает ( M ), то там должна находиться точка, где функция действительно принимает значение ( M ).Аналогично, для инфимума ( m ) можно провести аналогичный аргумент, то есть существуют такие ( y\delta \in [a, b] ), что ( f(y\delta) < m + \delta ).Шаг 6: Заключение

Таким образом, мы учитывая все предыдущие шаги, можем сделать вывод:

( \exists x_0 \in [a, b] : f(x_0) = M ) (максимум).( \exists y_0 \in [a, b] : f(y_0) = m ) (минимум).

Этим завершается доказательство теоремы Вейерштрасса — любая непрерывная функция на замкнутом и ограниченном отрезке достигает своего максимума и минимума.