Чтобы найти все натуральные числа ( n ), для которых сумма цифр ( n ) делится на 3, необходимо вспомнить, как работает проверка делимости на 3.

Сумма цифр числа делится на 3 тогда и только тогда, когда само число делится на 3. Это следует из свойства делимости, которое связано с разложением числа на его цифры.

Рассмотрим натуральное число ( n ) в десятичной системе счисления, которое можно представить в виде:

[
n = ak \cdot 10^k + a{k-1} \cdot 10^{k-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0
]

где ( a_i ) — это цифры числа ( n ). Сумма цифр ( S(n) ) выражается как:

[
S(n) = ak + a{k-1} + \ldots + a_1 + a_0
]

Для проверки делимости на 3 делим ( n ) на 3 и смотрим на остаток. Мы можем воспользоваться тем, что ( 10 \equiv 1 \mod 3 ). Таким образом, каждая степень десятки также будет равна 1 по модулю 3:

[
10^i \equiv 1 \mod 3
]

Следовательно,

[
n \equiv ak \cdot 1 + a{k-1} \cdot 1 + \ldots + a_1 \cdot 1 + a_0 \cdot 1 \mod 3
]

То есть:

[
n \equiv S(n) \mod 3
]

Таким образом, ( n ) делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр ( S(n) ) делится на 3. Это и объясняет, почему метод проверки делимости на 3 работает: остатки при делении сохраняются при преобразовании числа в сумму его цифр.

Теперь, чтобы найти все натуральные числа ( n ), для которых сумма цифр ( S(n) ) делится на 3, можно просто перебирать натуральные числа и проверять их сумму цифр на делимость на 3. В общем случае, любое натуральное число с подходящей суммой цифр удовлетворяет этому условию. Примеры таких чисел: 3, 6, 9, 12, 21, 30 и так далее.

В случае чисел с большим количеством цифр (например, ( n=123 )), сумма цифр равна ( 1 + 2 + 3 = 6 ), которая делится на 3, поэтому и само ( n ) будет делиться на 3. Важно отметить, что для любого числа вы можете проверить это условие, вычисляя сумму его цифр и проверяя, делится ли она на 3.