Обозначим выражение как ( x ):
[
x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}}
]
Таким образом, мы можем переписать уравнение как:
[
x = \sqrt{2 + x}
]

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:
[
x^2 = 2 + x
]

Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 - x - 2 = 0
]

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
]
Таким образом, получаем два корня:
[
x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1
]

Поскольку выражение ( x ) представляет собой длину (корень), оно не может быть отрицательным. Поэтому принимаем только положительное решение:
[
x = 2
]

Теперь покажем, что последовательность сходится. Определим последовательность ( a_n ), заданную рекурсивно:
[
a1 = \sqrt{2}, \quad a{n+1} = \sqrt{2 + a_n}
]

Показать, что последовательность ( a_n ) ограничена сверху.

Проверим, что ( a_n < 2 ) для всех ( n ):

База индукции: ( a_1 = \sqrt{2} \approx 1.414 < 2 ).Предположим, что ( an < 2 ). Тогда:
[
a{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
]

По индукции, ( a_n < 2 ) для всех ( n ).

Показать, что последовательность ( a_n ) возрастает.

Нам нужно показать, что ( a_{n+1} > a_n ):
[
\sqrt{2 + a_n} > a_n
]
Возводим обе стороны в квадрат:
[
2 + a_n > a_n^2
]
Переписываем:
[
0 > a_n^2 - a_n - 2
]

Это уравнение имеет корни ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -1 ). Таким образом, неравенство:
[
a_n^2 - a_n - 2 < 0
]
выполнено для ( -1 < a_n < 2 ). Поскольку ( a_n > 0 ), это неравенство выполняется.

Следовательно, последовательность ( (a_n) ) ограничена сверху и возрастает, что означает, что она сходится.

Итак, предельное значение:
[
\lim_{n \to \infty} a_n = 2.
]

Таким образом, окончательный ответ:
[
\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}} = 2.
]