Рассмотрим пример уравнения с переменной в показателе:

[
2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 5
]

Замена переменной:
Используем замену ( y = 2^x ). Тогда ( 2^{-x} = \frac{1}{y} ), и уравнение можно переписать в виде:
[
y + \frac{3}{y} = 5
]
Умножим обе части на ( y ) (при условии, что ( y \neq 0 )):
[
y^2 - 5y + 3 = 0
]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант:
Вычислим дискриминант:
[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13
]
Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два различных корня:
[
y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}
]

Возврат к переменной ( x ):
Теперь преобразуем корни ( y ) обратно в ( x ):
[
2^x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}
]
Для нахождения ( x ) из выражения ( 2^x = k ) используем логарифмы:
[
x = \log_2\left(\frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}\right)
]

Неотрицательность функции:
Поскольку ( 2^x > 0 ) для всех ( x ), то значение ( \frac{5 - \sqrt{13}}{2} ) должно быть положительным для допустимого решения. В данном случае вычислим:
[
5 - \sqrt{13} \approx 5 - 3.605 \approx 1.395 > 0
]
Таким образом, ( \frac{5 - \sqrt{13}}{2} > 0 ).

Проверка значений:
Обе части уравнения (первый и второй корни) могут быть подставлены обратно в уравнение для проверки.

Таким образом, у уравнения ( 2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 5 ) есть два решения, ( x_1 ) и ( x_2 ), удовлетворяющих условиям существования. Значения ( x ) можно найти в виде логарифмов от положительных чисел.