Чтобы решить уравнение (|x - 2| + |x + 1| = 5), нужно рассмотреть его в зависимости от значений (x), которые влияют на значения абсолютных величин.

Абсолютные значения (|x - 2|) и (|x + 1|) меняют свою природу в точках (x = 2) и (x = -1). Таким образом, мы разбиваем задачу на три случая:

Случай 1: (x < -1)
В этом случае (x - 2 < 0) и (x + 1 < 0), следовательно:
[
|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
]
[
|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1
]
Подставляем в уравнение:
[
-x + 2 - x - 1 = 5
]
Упрощаем:
[
-2x + 1 = 5
]
[
-2x = 4
]
[
x = -2
]
Проверяем, попадает ли (x = -2) в наш диапазон (x < -1). Да, подходит.

Случай 2: (-1 \leq x < 2)
В этом случае (x - 2 < 0) и (x + 1 \geq 0), следовательно:
[
|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
]
[
|x + 1| = x + 1
]
Подставляем в уравнение:
[
-x + 2 + x + 1 = 5
]
Упрощаем:
[
3 = 5
]
Это равенство не выполняется, следовательно, решения в этом диапазоне нет.

Случай 3: (x \geq 2)
В этом случае (x - 2 \geq 0) и (x + 1 \geq 0), следовательно:
[
|x - 2| = x - 2
]
[
|x + 1| = x + 1
]
Подставляем в уравнение:
[
x - 2 + x + 1 = 5
]
Упрощаем:
[
2x - 1 = 5
]
[
2x = 6
]
[
x = 3
]
Проверяем, попадает ли (x = 3) в наш диапазон (x \geq 2). Да, подходит.

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

[
x = -2 \quad \text{и} \quad x = 3
]

Ответ: (x = -2) и (x = 3).