Данная последовательность дробей имеет форму ( \frac{n}{n+1} ), где ( n ) — натуральное число. То есть, мы можем записать элементы последовательности следующим образом:

[
\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots
]

Для изучения поведения этой последовательности и нахождения предела, мы можем воспользоваться методом предельного перехода.

Мы ищем предел последовательности ( a_n = \frac{n}{n+1} ) при ( n \to \infty ):

[
\lim_{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} \frac{n}{n+1}
]

Чтобы упростить выражение, можно разделить числитель и знаменатель на ( n ):

[
\lim{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}
]

Теперь, при ( n \to \infty ), член ( \frac{1}{n} ) стремится к нулю, и мы получаем:

[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1
]

Таким образом, предел последовательности ( \frac{n}{n+1} ) при ( n \to \infty ) равен 1. Это показывает, что по мере увеличения ( n ), дроби приближаются к 1.

Метод, который был применён для нахождения предела, заключается в замене значения переменной ( n ) на ( \infty ) и упрощении выражения, что позволяет более наглядно увидеть, к какому значению стремится последовательность. Этот метод основан на свойствах пределов и делении на ( n ) для упрощения анализа.