Для доказательства того, что квадрат любого нечетного числа можно представить в виде (8k + 1), можно воспользоваться разными подходами. Вот несколько вариантов доказательства.

Вариант 1: Прямое вычисление

Пусть нечетное число можно представить в виде (n = 2m + 1), где (m) — целое число. Теперь возьмем квадрат этого числа:

[
n^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1
]

Поскольку (m(m + 1)) всегда четно (так как произведение двух последовательных чисел всегда четно), можем записать его в виде (k), где (k) — целое число:

[
m(m + 1) = 2k \implies n^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1
]

Таким образом, мы показали, что (n^2) представляется в виде (8k + 1), где (k) — целое число.

Вариант 2: Модульный подход

Рассмотрим нечетные числа по модулю 8. Все нечетные числа в этом случае могут принимать значения:

(1) (мод (8))(3) (мод (8))(5) (мод (8))(7) (мод (8))

Теперь найдем квадраты этих чисел по модулю 8:

(1^2 \equiv 1 \mod 8)(3^2 \equiv 9 \equiv 1 \mod 8)(5^2 \equiv 25 \equiv 1 \mod 8)(7^2 \equiv 49 \equiv 1 \mod 8)

В каждом случае квадрат нечетного числа, взятый по модулю 8, дает остаток 1. Следовательно, квадрат любого нечетного числа можно представить в виде (8k + 1) для некоторого целого (k).

Вариант 3: Индукционное доказательство

Мы можем использовать математическую индукцию.

База индукции: Для (n = 1) мы имеем (1^2 = 1 = 8 \cdot 0 + 1). Это верно.

Шаг индукции: Пусть верно для некоторого нечетного числа (n), то есть (n^2 = 8k + 1) для некоторого целого (k). Мы должны показать, что для (n + 2) (следующего нечетного числа) это также верно.

[
(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4
]

Подставим известное значение (n^2):

[
(n + 2)^2 = (8k + 1) + 4n + 4 = 8k + 4n + 5
]

Теперь, чтобы выразить это в виде (8m + 1), нужно, чтобы (4n + 5) было представлено в виде (8m + 1). Поскольку (n) — нечетное число, (4n) всегда четно, и, следовательно,:

[
4n \equiv 0 \text{ или } 4 \mod 8
]

Таким образом, (4n + 5 \equiv 5 \text{ или } 1 \mod 8), что ограничивает (k) и обеспечивает, что итоговая форма остаётся (8m + 1).

В заключение, из всех представленных методов можно сделать вывод, что квадрат любого нечетного числа всегда можно представить в виде (8k + 1) для некоторого целого (k).