Утверждение: Если ( a \cdot b = 0 ) для вещественных чисел ( a ) и ( b ), то либо ( a = 0 ), либо ( b = 0 ), верно. Это свойство называется "законом нуля произведения" и действительно справедливо для вещественных чисел.

Доказательство: Предположим, что ( a \cdot b = 0 ). Мы будем рассматривать два случая:

Если ( a \neq 0 ), то мы можем разделить обе стороны уравнения на ( a ):
[
b = \frac{a \cdot b}{a} = \frac{0}{a} = 0.
]
Таким образом, в этом случае ( b = 0 ).

Если ( b \neq 0 ), тогда аналогично мы можем разделить обе стороны уравнения на ( b ):
[
a = \frac{a \cdot b}{b} = \frac{0}{b} = 0.
]
Таким образом, в этом случае ( a = 0 ).

Таким образом, если ( a \cdot b = 0 ), то обязательно выполняется одно из двух: либо ( a = 0 ), либо ( b = 0 ).

Теперь обсудим переносимость этого свойства в кольцах. В общем случае, в произвольных кольцах закон нуля произведения не всегда выполняется. То есть, могут существовать такие элементы ( a ) и ( b ) в кольце, что ( a \cdot b = 0 ), но при этом оба ( a ) и ( b ) не равны нулю. Такую двойку элементов называют "нулевыми делителями".

Пример: Рассмотрим кольцо ( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ) (остатки от деления на 6). В этом кольце мы имеем:
[
2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6.
]
При этом оба элемента ( 2 ) и ( 3 ) не равны нулю в кольце ( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ).

Таким образом, закон нуля произведения переносится только на интегральные области (кольца без делителей нуля), а в общем случае в произвольных кольцах он не выполняется.