Правило знаков Декарта позволяет оценить количество положительных корней многочлена ( p(x) ) в зависимости от знаков его коэффициентов.

Для многочлена степени 3, который можно записать в виде:
[
p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,
]
где ( a, b, c, d ) — коэффициенты (при ( a \neq 0 )), правило Декарта гласит следующее:

Подсчитайте количество знаков, меняющихся между соседними коэффициентами. То есть, если у вас есть последовательность знаков ( (+, -, +, -) ), то вы смотрите на знаки ( a, b, c, d ).

Количество положительных корней многочлена ( p(x) ) может быть равно количеству изменений знаков или меньше на четное число (например, 2, 0).

Пример

Рассмотрим многочлен:
[
p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
]
Коэффициенты: ( a = 2 ) (положительный), ( b = -3 ) (отрицательный), ( c = 4 ) (положительный), ( d = -5 ) (отрицательный).

Знаки коэффициентов: ( (+, -, +, -) ).Изменение знаков: 3 изменения (между ( 2 ) и ( -3 ), между ( -3 ) и ( 4 ), между ( 4 ) и ( -5 )).

По правилу Декарта, многочлен может иметь 3 или 1 положительный корень.

Тонкая ситуация

Рассмотрим многочлен:
[
p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1.
]
Коэффициенты: ( 1, -3, 3, -1 ) (знаки: ( (+, -, +, -) )).

Изменения знаков: 3 (число положительных корней может быть 3 или 1).

Однако, на самом деле, этот многочлен имеет только один положительный корень — ( x = 1 ). Остальные корни будут отрицательными (в данном случае это два комплексных корня). Здесь правило Декарта дает нам возможность оценить количество положительных корней, но реальное количество меньше ожидаемого.

Таким образом, чтобы точно определить количество положительных корней, следует использовать дополнительные методы, такие как вычисление производной, анализ графика функции или методы численного решения.