Для решения задачи ( x! > 10^n ) мы можем воспользоваться асимптotic

бычно применяется формула Стирлинга для приближенного вычисления факториала:

[
x! \sim \sqrt{2 \pi x} \left( \frac{x}{e} \right)^x
]

Это приближение позволяет нам получить информацию о росте факториала. Применяя это приближение, мы можем записать неравенство:

[
\sqrt{2 \pi x} \left( \frac{x}{e} \right)^x > 10^n
]

Прибавим логарифм обеих частей неравенства:

[
\log\left(\sqrt{2 \pi x} \left( \frac{x}{e} \right)^x\right) > n \log(10)
]

Это можно преобразовать к следующему виду:

[
\log(\sqrt{2 \pi x}) + \log\left(\left( \frac{x}{e} \right)^x\right) > n \log(10)
]

Упрощаем это выражение:

[
\frac{1}{2} \log(2 \pi x) + x \log(x) - x > n \log(10)
]

Теперь мы имеем:

[
\frac{1}{2} \log(2 \pi x) + x \log(x) - x - n \log(10) > 0
]

Для нахождения наименьшего положительного решения ( x ) этого уравнения можно использовать численные методы (например, метод бисекции или методы Ньютона), а также графическое решение для выявления точки пересечения выражения с нулевой осью.

Метод Стирлинга: Как уже упоминалось, Стирлинг дает хорошее приближение для больших ( x ). Можно использовать это приближение, чтобы установить порядок роста ( x ).

Логарифмический анализ: Работа с логарифмами позволяет проще анализировать неравенства и уравнения, затрагивающие экспоненциальный рост функций.

Графический метод: Построение графиков обеих сторон уравнения может помочь зрительно определить места пересечения, что может упростить поиск решений.

Численные методы: Если явное аналитическое решение уравнения не удается найти, можно использовать численные методы для нахождения корней (например, метод Ньютона или бисекционный метод).

Для более практического подхода можно заметить, что при большом ( x ) главные слагаемые у нас – это ( x \log x ). Таким образом, можно приближенно решить неравенство:

[
x \log x \sim n \log(10)
]

Формируя из этого уравнение, мы можем даже предположить форму решения порядка:

[
x \sim \frac{n \log(10)}{\log x}
]

Это упрощает нахождение порядка величины ( x ), которую мы будем искать, когда ( n ) будет достаточно большим.