Доказательство, что сумма первых ( n ) натуральных чисел равна ( \frac{n(n+1)}{2} ), можно провести несколькими способами. Вот три различных метода:

Метод 1: Математическая индукция

База индукции: Для ( n = 1 ) сумма первых ( 1 ) натуральных чисел равна ( 1 ), а по формуле ( \frac{1(1+1)}{2} = 1 ). База индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для какого-то ( k ) (т.е. ( 1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2} )). Нужно доказать, что оно верно для ( k+1 ):
[
1 + 2 + \ldots + k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)
]
Приведем к общему знаменателю:
[
= \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}
]
Таким образом, утверждение верно и для ( k + 1 ).

По принципу математической индукции, формула верна для всех ( n ).

Метод 2: Суммирование "в пару"

Запишем сумму первых ( n ) натуральных чисел:
[
S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n
]
Теперь запишем её в обратном порядке:
[
S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1
]
Сложим оба выражения:
[
2S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + \ldots + (n + 1)
]
В каждом из ( n ) выражений сумма равна ( n + 1 ):
[
2S = n(n + 1)
]
Тогда:
[
S = \frac{n(n + 1)}{2}
]

Метод 3: Использование формулы суммы арифметической прогрессии

Считаем сумму первых ( n ) натуральных чисел, которые образуют арифметическую прогрессию с первым членом ( a = 1 ) и последним членом ( l = n ). Количество членов ( n ).

Формула для суммы арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} (a + l)
]
Подставим значения:
[
S_n = \frac{n}{2} (1 + n) = \frac{n(n + 1)}{2}
]

Таким образом, во всех трех методах мы пришли к одной и той же формуле для суммы первых ( n ) натуральных чисел.