Радиус вписанной окружности треугольника можно найти с помощью следующей формулы:

[
r = \frac{S}{p}
]

где:

( r ) - радиус вписанной окружности,( S ) - площадь треугольника,( p ) - полупериметр треугольника.

Полупериметр ( p ) определяется как половина периметра треугольника:

[
p = \frac{a + b + c}{2}
]

где ( a, b, c ) - длины сторон треугольника.

Пример вычисления

Рассмотрим треугольник со сторонами ( a = 6 ), ( b = 8 ) и ( c = 10 ).

Находим полупериметр:
[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12
]

Находим площадь треугольника (можно использовать формулу Герона):
[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
]
Сначала находим ( p - a, p - b, p - c ):
[
p - a = 12 - 6 = 6, \quad p - b = 12 - 8 = 4, \quad p - c = 12 - 10 = 2
]

Теперь подставляем в формулу:
[
S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2}
]
Считаем произведение:
[
12 \cdot 6 = 72, \quad 72 \cdot 4 = 288, \quad 288 \cdot 2 = 576
]

Теперь находим корень:
[
S = \sqrt{576} = 24
]

Находим радиус вписанной окружности:
[
r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2
]

Таким образом, радиус вписанной окружности данного треугольника равен ( 2 ) единицам.