Неравенство, о котором идет речь, называется неравенством треугольника. Оно утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Доказательство неравенства треугольника:

Пусть у нас есть треугольник с вершинами ( A ), ( B ), ( C ) и соответствующими длинами сторон ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB ).

Мы должны доказать три неравенства:

( a < b + c )( b < a + c )( c < a + b )Доказательство первого неравенства ( a < b + c ):

Предположим, что это не так, то есть ( a \geq b + c ). Тогда отрезок ( BC ) (длина ( a )) будет такой же длины или длиннее, чем сумма отрезков ( AC ) и ( AB ) (длины ( b ) и ( c )). В таком случае, мы можем попытаться разместить точки ( A ) и ( C ) так, чтобы они находились на одной прямой линии. Если ( A ) и ( C ) лежат на продолжении прямой линии между ( B ) и ( C ), то точка ( A ) будет находиться вне отрезка ( BC ).

Следовательно, в этом случае у нас не получится сформировать треугольник, так как один из его углов будет равен ( 180^\circ ) или больше. Это противоречит определению треугольника, где сумма углов должна быть равна ( 180^\circ ) и каждый угол менее ( 180^\circ ).

Таким образом, мы приходим к выводу, что первое неравенство должно выполняться: ( a < b + c ).

Аналогично можно доказать и остальные неравенства:

Для неравенства ( b < a + c ) можно использовать тот же подход: предположите, что ( b \geq a + c ), и попробуйте расположить точки так, чтобы сформировать треугольник. Вы тоже получите противоречие.

Последнее неравенство ( c < a + b ) можно доказать аналогичным способом.

Геометрическое объяснение:

Во всех случаях, если одна из сторон равна или больше суммы двух других, то графически можно показать, что точки ( A ), ( B ) и ( C ) не могут лежать в одной плоскости так, чтобы образовать треугольник. Когда одна сторона становится равной или больше суммы двух других, она "разворачивает" треугольник в линию (или больше), и фигурирование треугольника становится невозможным.

Таким образом, неравенство треугольника показывает, что для треугольника всегда выполняется условие, что каждая сторона меньше суммы двух других.