Для исследования функции ( f(x) = \tan(x) ) на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ) начнем с нахождения её производной, чтобы определить монотонность.

1. Нахождение производной

Функция ( f(x) = \tan(x) ) имеет производную:

[
f'(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}
]

2. Исследование монотонности

Производная ( f'(x) ) положительна на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ) (так как ( \cos(x) ) не равен нулю и положителен на данном интервале). Это говорит о том, что функция ( f(x) ) строго возрастает на этом интервале:

[
f'(x) > 0 \quad \text{для} \quad x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).
]

3. Нахождение второй производной

Теперь найдем вторую производную для исследования выпуклости функции:

[
f''(x) = \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^2(x)\tan(x).
]

4. Исследование выпуклости

Теперь определим знак второй производной. Заметим, что:

( \sec^2(x) > 0 ) на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ),( \tan(x) ) также положителен на интервале ( (0, \frac{\pi}{2}) ) и отрицателен на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, 0) ).

Таким образом, в интервале ( (-\frac{\pi}{2}, 0) ):

[
f''(x) < 0 \quad \text{(выпуклая вниз)},
]

а в интервале ( (0, \frac{\pi}{2}) ):

[
f''(x) > 0 \quad \text{(выпуклая вверх)}.
]

Таким образом, функция имеет точку перегиба в ( x = 0 ).

5. ВыводыФункция ( f(x) = \tan(x) ) на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ) строго возрастает.Она выпукла вниз на интервале ( (-\frac{\pi}{2}, 0) ) и выпукла вверх на интервале ( (0, \frac{\pi}{2}) ).Точка перегиба находится в ( x = 0 ).

Эти результаты показывают, что функция имеет характерный вид: она возрастает, претерпевая изменения в форме кривой на указанном интервале.