Утверждение о том, что общее решение тригонометрического уравнения ( \tan(x) = 2 ) имеет вид ( x = \arctan(2) + k\pi ), является корректным, если правильно учитывать свойства функции тангенса.

Разбор утверждения

Арктангенс и его значения:

Функция ( \arctan(2) ) возвращает один определённый угол (в радианах), который является решением уравнения ( \tan(x) = 2 ). Этот угол находится в диапазоне ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ).

Периодичность тангенса:

Функция ( \tan(x) ) обладает периодом ( \pi ), т.е. ( \tan(x + k\pi) = \tan(x) ) для любого целого ( k ). В результате, все решения уравнения ( \tan(x) = 2 ) имеют вид:
[
x = \arctan(2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Ветви арктангенса:

Так как арктангенс имеет множество ветвей в зависимости от значения ( k ), для каждого значения ( k ) вы получаете новое решение, которое соответствует основному решению ( \arctan(2) ) с добавленным целым кратным величины периода.Нюансы выбора арктангенса и ветвейПри определении ( x): Необходимо понимать, что ( \arctan(2) ) — это только одно из значений, которое решает данное уравнение. Все решения можно получить, добавляя к этому значению ( k\pi ).Подбор значения ( k ): Для нахождения всех решений уравнения на множестве действительных чисел важно учитывать, что ( k ) может быть как положительным, так и отрицательным, что приведёт к разным решениям по всей числовой оси.Проверка дополнительными методами: Убедитесь, что все значения, полученные в виде ( \arctan(2) + k\pi ), действительно подходят под изначальное уравнение ( \tan(x) = 2 ).Заключение

Таким образом, общее решение тригонометрического уравнения ( \tan(x) = 2 ) правильно записано в виде:
[
x = \arctan(2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Важно помнить о периодичности и выбрать правильный диапазон для арктангенса при графическом изображении или численной интерпретации данных результатов.