Парадокс Монти Холла является классической задачей в теории вероятностей, которая демонстрирует, как интуитивные решения могут быть ошибочными при принятии решений в условиях неопределенности. В его стандартной форме участник выбирает одну из трех дверей, за одной из которых находится приз, после чего ведущий (который знает, где находится приз) открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится пустота, и предлагает участнику поменять выбор.

Теперь рассмотрим изменение правила, при котором ведущий случайно выбирает одну из оставшихся дверей и может открыть призовую. Это меняет структуру вероятностей.

Анализ нового сценария:

Пусть у нас есть три двери: A, B и C. Приз находится за одной из дверей, и вероятности для каждой двери изначально равны:

P(приз за A) = 1/3P(приз за B) = 1/3P(приз за C) = 1/3

Участник выбирает, например, дверь A.

Теперь у ведущего есть два варианта: либо открыть пустую дверь, либо открыть дверь с призом. Рассмотрим разные ситуации.

Ситуация, когда приз находится за дверью A (то есть игрок выбрал правильную дверь):

Ведущий может открыть либо дверь B, либо дверь C.Если он откроет пустую дверь, то остается один пустой вариант, и приз останется за A.Вероятность этого события = 1/3 (так как шанс, что приз за A, равен 1/3).

Ситуация, когда приз находится за дверью B:

Ведущий может открыть дверь C (пустая).Вероятность этого события также = 1/3.

Ситуация, когда приз находится за дверью C:

Ведущий может открыть дверь B (пустая).Вероятность этого события также = 1/3.Шансы выигрыша при разных стратегиях:

В данном измененном варианте есть два подхода: оставить свой выбор или поменять.

Если участник остается при выборе двери A:

Участник выигрывает в случае, если приз действительно находится за A. Вероятность выигрыша = 1/3.

Если участник решает поменять дверь:

Участник выигрывает в случае, если приз находится либо за B, либо за C (в зависимости от того, какую дверь открывает ведущий).Вероятность выигрыша, если ведущий открывает дверь с призом (что возможно только если приз за C) также равно 1/3.Однако вероятность, что ведущий откроет пустую дверь в ситуациях 2 и 3, увеличивает шанс выигрыша, если участник поменяет выбор.Подсчет вероятностей:

Теперь рассчитаем вероятность, когда участник меняет выбор:

Если приз за A (вероятность 1/3), ведущий может открыть либо B, либо C. Если приз за B (вероятность 1/3), ведущий обязательно откроет C.Если приз за C (вероятность 1/3), ведущий обязательно откроет B.

Таким образом, участник имеет вероятность (если меняет выбор):

0, когда приз за A,1/3 (когда открыта дверь C) + 1/3 (когда открыта дверь B) = 2/3.Оптимальная стратегия:

Таким образом, в новой версии задачи:

Если участник остается при своем выборе, его вероятность выигрыша = 1/3.Если он меняет свой выбор, его вероятность выигрыша = 2/3.

Таким образом, оптимальная стратегия в этом измененном варианте задачи — менять свой выбор.