Для нахождения экстремумов функции ( f(x,y) = x^2 + y^2 ) на множестве, ограниченном неравенствами ( g_1(x,y) \geq 0 ) и ( g_2(x,y) \geq 0 ), необходимо рассмотреть несколько аспектов:

Использование метода множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа обычно применяется при наличии сглаженных границ ограничений (например, когда границы определяются гладкими функциями). Он позволяет искать локальные экстремумы функции с учетом ограничения, превращая задачу в систему уравнений:

Составляем функцию Лагранжа:
[
\mathcal{L}(x,y,\lambda_1,\lambda_2) = f(x,y) + \lambda_1 g_1(x,y) + \lambda_2 g_2(x,y)
]

Находим частные производные и приравниваем их к нулю:
[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_1} = g_1(x,y) = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_2} = g_2(x,y) = 0
]

При этом важно, чтобы границы были гладкими.

Прямой анализ граничных точек

В случае, если границы определяются функциями, которые могут быть неконгруэнтными или даже угловыми (например, ( g_1(x,y) = x + y - 1 ) и ( g_2(x,y) = -x )), метод Лагранжа может быть не применим. В таких случаях следует:

Явно найти значения функции на границах (где ( g_1(x,y) = 0 ) и ( g_2(x,y) = 0 )).Исследовать поведение функции в углах и на пересечениях границ.Алгоритм полного поиска экстремумов

Обозначить множество ограничений: Определить область, где действуют неравенства ( g_1(x,y) \geq 0 ) и ( g_2(x,y) \geq 0 ).

Анализ внутренних точек:

Находить критические точки функции ( f(x,y) ) в области, рассматривая производные и решая систему уравнений.

Анализ границ:

Для каждого из ограничений (границ ( g_1(x,y) = 0 ) и ( g_2(x,y) = 0 )) находить значения функции ( f(x,y) ) вдоль этих границ.Если границы угловые, необходимо также исследовать точки, где границы пересекаются.

Сравнение значений:

Сравнить все найденные критические значения функции из внутренних точек и значений на границах.Возможные сложности

Негладкие границы: Угловые и кусочные функции могут затруднить применение техник оптимизации. Необходимо уделять внимание каждому участку границы.

Множество локальных экстремумов: Значительное количество критических точек, особенно на сложных границах, требует тщательного анализа, чтобы не пропустить глобальный экстремум.

Неопределенности в методах: В случае сложных формул и производных может потребоваться численный анализ для нахождения экстремумов.

Заключение

Метод множителей Лагранжа подходит для гладких ограничений, но для частных случаев с угловыми или кусочными границами предпочтителен прямой анализ граничных точек. Полный алгоритм поиска экстремумов требует систематического подхода и может потребовать дополнительных усилий для сложных случаев.