Частая ошибка в подобных «оценках по членам» — перепутать направление неравенства при сравнении 1/n^2 с простыми дробями вида 1/(n(n±1)) или при приближении интегралом. Например неправильно писать
1/n^2 ≤ 1/(n(n+1))
(такая оценка была бы слишком сильной и не верна: для n=2 правая часть 1/6 < 1/4). Правильнее пользоваться монотонностью f(x)=1/x^2 и оценками через интегралы.

Корректная двухсторонняя оценка (n ≥ 2):
1/(n(n+1)) ≤ 1/n^2 ≤ 1/(n(n-1)).
Легко проверить: 1/(n(n+1)) = 1/(n^2+n) < 1/n^2 < 1/(n^2-n)=1/(n(n-1)).

Отсюда классический (корректный) вывод
sum{n=1}^\infty 1/n^2 = 1 + sum{n=2}^\infty 1/n^2
≤ 1 + sum{n=2}^\infty 1/(n(n-1))
= 1 + sum{n=2}^\infty (1/(n-1) - 1/n) = 1 + 1 = 2.

Но это довольно грубая оценка. Можно получить более строгую (элементарно) через частичную сумму и оценку хвоста интегралом. Например:
S = sum{n=1}^\infty 1/n^2
= (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16) + sum{n=5}^\infty 1/n^2
≤ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ∫_4^\infty 1/x^2 dx
= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/4
= 1.673611... < 1.674.

Ещё более точный (и классический) результат — значение ряда известно как π^2/6 ≈ 1.644934…, так что действительно S < 1.645. Но если нужно строго и элементарно (без использования π^2/6), то оценка S < 1.674 даёт существенно лучшее ограничение, чем 2.

Итак:

типичная ошибка — неверное направление неравенства при сравнении 1/n^2 с другими дробями/интегралами;корректная оценка: для n≥2, 1/(n(n+1)) ≤ 1/n^2 ≤ 1/(n(n-1));более строгая (элементарная) верхняя граница: S < 1.674 (а по формуле Эйлера S = π^2/6 ≈ 1.644934).