Кратко — критерий и метод:
1) Формулировка (теорема о рациональном корне). Для многочлена с целыми коэффициентами
$$P(x)=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0,a_i\in \mathbb{Z},$$ если $r=\frac{p}{q}$ — рациональный корень в несократимом виде ($\gcd (p,q)=1$), то $p\mid a_0$ и $q\mid a_4$. (Rational Root Theorem)
2) Метод (алгоритм):
- Привести многочлен к примитивному виду (разделить на $\gcd$ коэффициентов, если нужно).
- Перечислить все кандидаты $r=\pm \frac{p}{q}$, где $p$ пробегает делители $a_0$, а $q$ — делители $a_4$.
- Для каждого кандидата подставить в $P(x)$ или применить схему Горнера/синтетическое деление; при нуле найден корень и можно разделить многочлен на $(qx-p)$.
- Если корень кратный, проверить $\gcd (P,P^{\prime })$ (получается по Евклиду) для обнаружения кратных рациональных корней.
3) Ускорения и дополнительные приёмы:
- Если $a_4=1$ (многочлен приведённый), то возможные рациональные корни — целые и делят $a_0$.
- Модульная проверка: для простого $p$ не делящего $a_4$, если многочлен не имеет корня в поле ${\mathbb{F}}_p$, то никакой рациональный корень с знаменателем, не делящимся на $p$, не существует. Это быстро отсекает многих кандидатов.
- Применять явные границы (например, теорема о корнях по коэффициентам) для ограничения диапазона целых кандидатов.
4) Пример. Пусть
$$P(x)=2x^4-3x^3+5x^2-6x+4.$$ Делители $a_0=4$: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$; делители $a_4=2$: $\pm 1,\pm 2$. Кандидаты: $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm \frac{1}{2}$. Подстановка или Горнер показывает, что ни один из них не обнуляет $P$. Следовательно, рациональных корней нет.
5) Ограничения метода:
- Неэффективен при больших модулей $a_0,a_4$: число кандидатов равно $\tau (a_0)\tau (a_4)$ (функция числа делителей) и может быть большим.
- Теорема даёт только необходимое условие; чтобы убедиться в отсутствии рациональных корней, надо проверить все кандидаты.
- Отсутствие линейных рациональных корней не исключает, что многочлен разлагается над $\mathbb{Q}$ на два неприводимых квадратичных фактора (т. е. нет рациональных корней, но есть факторизация степени $2$). Для полного теста на приводимость над $\mathbb{Q}$ требуются более сильные методы (факторизация по модулю простого с подъемом, алгоритмы Зассенхауса и т.п.).
- Модульный тест даёт лишь необходимость для определённых знаменателей (если Prime делит знаменатель, информация теряется).
- Числовые приближения (приближённое нахождение корней) не заменяют строгую проверку рациональности без последующей рациональной рекonstrukции.
Краткий вывод: для проверки рациональных корней четвёртого степени основной практический инструмент — теорема о рациональном корне с перечислением и проверкой конечного множества кандидатов, усилённая модульными отсевами и проверкой кратности; метод прост и строг, но при больших коэффициентах или при отсутствии линейных рациональных корней он не даёт полной информации о приведимости многочлена над $\mathbb{Q}$.