Коротко — да, треугольник строится однозначно при данных числах. Последовательность и разбор случаев:
1) Позиционирование. В точке $A$ проведите два луча под углом $60^{\circ }$ (лучи $AB$ и $AC$).
2) Находим $AB=c$ по высоте на сторону $b$. Высота $h_b$ от вершины $B$ на линию $AC$ равна $c\sin 60^{\circ }$, значит
$$c=\frac{h_b}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2h_b}{\sqrt{3}}.$$ При $h_b=4$ получаем $c=\frac{8}{\sqrt{3}}$. Отложите на луче $AB$ от $A$ отрезок $AB=c$.
3) Находим $b$. Точка $C$ лежит на луче $AC$ на расстоянии $b$ от $A$ и должна удовлетворять $BC=a$. Это даёт квадратное уравнение
$$b^2-cb+(c^2-a^2)=0,$$ решения
$$b=\frac{c\pm \sqrt{4a^2-3c^2}}{2}=\frac{c}{2}\pm \sqrt{a^2-h_b^2},$$ поскольку $c=\frac{2h_b}{\sqrt{3}}$. При $a=5,h_b=4$ имеем $\sqrt{a^2-h_b^2}=3$, поэтому единственный положительный корень
$$b=\frac{c}{2}+3=\frac{4}{\sqrt{3}}+3\approx \mathrm{5.3095.}$$ От пересечения окружности радиуса $a$ с центром в $B$ и луча $AC$ возьмите точку $C$ (в данном случае единственную).
4) Соедините $B$ и $C$. Получите искомый треугольник.
Условия существования и неоднозначности:
- Необходимо и достаточно $a\ge h_b$ (иначе $4a^2-3c^2<0$ — нет решений).
- Если $a=h_b$ — дискриминант ноль, единственное решение (касание).
- Если $h_b<a<\frac{2}{\sqrt{3}}{h}_b$ — дискриминант положителен и оба корня положительны, даёт две различных конфигурации (двойственность, аналог случая SSA).
- Если $a\ge \frac{2}{\sqrt{3}}{h}_b$ — ровно одно допустимое положительное $b$ (при равенстве второй корень равен нулю — вырожденный случай).
Для данных чисел $a=5,h_b=4$ выполняется $a>\frac{2}{\sqrt{3}}{h}_b$, поэтому треугольник единственен (с точными сторонами $c=\frac{8}{\sqrt{3}}$ и $b=\frac{4}{\sqrt{3}}+3$).