Коротко — несколько способов и что они дают.
1) Тест Лейбница (чередующийся ряд).
- Ряд записать как $S={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$ с $a_n=\frac{1}{n}$.
- Поскольку $a_n$ монотонно убывает к $0$, ряд сходится (Лейбниц).
- Оценка остатка: $|S-S_n|\le a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$; знак остатка равен знаку следующего члена. Вывод: сходимость медленная, порядок погрешности $O(1/n)$.
2) Тест абсолютной сходимости.
- Рассмотреть $\sum |(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}|=\sum \frac{1}{n}$ — гармонический ряд, он расходится.
- Следовательно исходный ряд сходится условно, но не абсолютно. Это важно: условная сходимость допускает перестановки, меняющие сумму.
3) Представление как степенного ряда / логарифм (точная сумма).
- Для $|x|<1$: $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$.
- Применяя теорему Абеля и подставляя $x\to 1$, получаем точную сумму $S=\ln 2$.
- Значение ряда найдено, тогда как тест Лейбница лишь доказывает сходимость и даёт оценку остатка.
4) Тесты Дирихле / Абеля (обобщённый подход).
- Можно рассматривать коэффициенты ${\sum }_{n=1}^N(-1{)}^{n+1}$ — частичные суммы ограничены, а $\frac{1}{n}\searrow 0$ — по тесту Дирихле ряд сходится. Подтверждает сходимость без явной суммы.
5) Сходимость по группировкам и перестановки.
- При обычной последовательной сумме получаем $\ln 2$.
- По теореме Римана: для условно сходящихся рядов возможны перестановки, дающие любое заданное значение или расходимость. Поэтому способ суммирования (перестановки/нет) влияет на получаемую сумму.
6) Оценка скорости и методы ускорения сходимости.
- По Лейбницу погрешность $O(1/n)$ — медленно.
- Для ускорения: преобразование Эйлера (биномиальные конечные разности), Aitken, метод Ричардсона и т.д. Например общий вид Эйлер-преобразования для чередующегося ряда
$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\Delta }^k{a}_1}{2^{k+1}}$,
где $\Delta$ — оператор конечной разности. Для $a_n=1/n$ это даёт ряд с более быстрым убыванием членов (порядки $1/n^2$ и быстрее), т.е. существенно улучшает сходимость на практике.
- Также аналитический подход через степенной ряд $\ln (1+x)$ позволяет оценивать хвост при $x$ близком к 1 и применять приёмы ускорения (например, рациональные приближения).
Краткий итог:
- Лейбниц: доказывает сходимость и даёт простой строгий оценочный шаг (порядок $1/n$).
- Абсолютная проверка: показывает, что сходимость условная.
- Степенной ряд $\ln (1+x)$: даёт точную сумму $S=\ln 2$.
- Методы ускорения (Эйлер, Aitken и пр.) улучшают скорость сходимости (ошибки становятся гораздо меньше, обычно переходя от $O(1/n)$ к $O(1/n^2)$ или лучше).
- Перестановки/группировки: при условной сходимости могут менять сумму, поэтому важно сохранять порядок суммирования, если нужно именно $\ln 2$.