Ошибка ученика: равенство $\sin x=x$ неверно для всех $x$ (верно только в предельном смысле). Прямая подстановка $x=0$ даёт неопределённость $\frac{0}{0}$, а подмена $\sin x$ на $x$ без обоснования некорректна.
Корректные подходы (коротко):
1) Теорема о сжатии (геометрический): для $0<x<\frac{\pi }{2}$ $$\sin x<x<\tan x,$$ откуда
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ При $x\to 0$ получаем $\cos x\to 1$, значит по теореме о сжатии
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$
2) Правило Лопиталя: исходная форма $\frac{0}{0}$. Дифференцируем числитель и знаменатель:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1.$$
3) Ряд Тейлора / асимптотика: при $x\to 0$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$ следовательно
$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1.$$
Критерии применения аппроксимаций малых аргументов:
- Можно заменить $f(x)$ на приближение $g(x)$ в пределе, если известно, что $f(x)-g(x)=o(g(x))$ или $f(x)/g(x)\to 1$ при $x\to a$.
- При сокращении в дроби нужно контролировать относительную погрешность: замена допустима, если разность по сравнению с ведущим членом стремится к нулю (иначе возможна потеря главного члена и ошибочный результат).
- Используйте оценки остаточного члена (например, в ряде Тейлора) или теорему о сжатии / Лопиталя, когда требуется строгость.
- Для численных приближений проверяйте, что значение аргумента действительно «малое» по шкале ошибки (оценка вида $o(x)$ или конкретная верхняя оценка остатка).
Итог: корректное значение предела $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.