Кратко: нужно различать две разные формулировки. Привожу правильные утверждения, короткие доказательства и примеры тонкостей.
1) Утверждение о делимости (вариант, который вы написали дословно).
- Формулировка, требующая уточнения: «Если целое $n$ делится суммой двух квадратов $a^2+b^2$ при взаимно простых $a$ и $b$, то все простые множители $n$ вида $3(\mathrm{mod}4)$ встречаются в чётной степени.»
- Уточнение/правильная версия: если $\gcd (a,b)=1$ и $n\mid (a^2+b^2)$, то вообще никакая простая $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ не делит $n$ (то есть такие простые встречаются в разложении $n$ с экспонентой $0$, что формально — чётно).
- Короткое доказательство: пусть простое $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ делит $a^2+b^2$. Тогда $(-1)$ было бы квадратичным вычетом по модулю $p$, ибо $a^2\equiv -b^2(\mathrm{mod}p)$ и если $p\nmid b$ получаем $(a{b}^{-1}{)}^2\equiv -1(\mathrm{mod}p)$. Но для $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ это невозможно, следовательно $p$ делит и $a$ и $b$. При $\gcd (a,b)=1$ это противоречие, значит такие $p$ не делят $n$.
- Пример иллюстрирующий тонкость без условия взаимной простоты: $a=3,b=0$ даёт $a^2+b^2=9$. Число $n=3$ делит $9$, но простое $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ входит в $n$ в нечётной степени. Поэтому условие $\gcd (a,b)=1$ действительно важно.
2) Классическое утверждение о представлении числа как суммы двух квадратов.
- Формулировка: целое положительное $n$ представимо в виде $n=a^2+b^2$ (не обязательно с $\gcd (a,b)=1$) тогда и только тогда, когда в простом разложении $n$ каждая простая $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ входит с чётной экспонентой.
- Короткая идея доказательства: рассуждение в кольце гауссовых целых $\mathbb{Z}[i]$ (уникальность факторизации) даёт нужный критерий; есть и элементарные доказательства через бесконечную спускку.
- Примеры:
- $n=45=6^2+3^2$. Разложение $45=3^2\cdot 5$: простое $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ входит в чётной степени $2$ — условие выполняется.
- $n=9=0^2+3^2$. Разложение $9=3^2$ — опять $3$ входит в степени $2$.
- $n=3$ не представимо как сумма двух целых квадратов — и действительно в разложении $3$ степень простого $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ нечётна.
Итого: исходная фраза верна, но требует пояснения: если вы имели в виду «$n\mid (a^2+b^2)$ при $\gcd (a,b)=1$», то тогда такие простые просто не делят $n$ (экспоненты нулевые). Если вы имели в виду «$n=a^2+b^2$», то верна общая теорема о чётности степеней простых $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$.