Кратко и по сути.
Почему диагонализация не подходит:
- Если минимальный многочлен матрицы $A$ равен $(x-1{)}^2$, то $A$ не является диагонализируемой (есть по крайней мере один жорданов блок размера $2$). Поэтому стандартная диагонализация и вычисление $e^{tA}$ через $P\mathrm{diag}(e^{t{\lambda }_i})P^{-1}$ неприменимы.
Жорданова форма — простая явная формула, но чувствительна численно:
- Представим $A=I+N$, где $N=A-I$ — нильпотентный (по минимальному многочлену) и $N^2=0$.
- В жордановой форме это даёт блоки размера $\le 2$, и экспонента каждого блока даёт элементарную формулу. В общем аналитически
$$e^{tA}=e^{t(I+N)}=e^t{e}^{tN}.$$ Так как $N^2=0$, ряд экспоненты обрывается:
$$e^{tN}=I+tN,\Rightarrow e^{tA}=e^t(I+tN).$$ - Минус: нахождение матрицы перехода к жордановой форме (матрицы $P$) обычно плохо обусловлено, поэтому численно некорректно восстанавливать $N$ через явную жорданизацию.
Степенной ряд и использование минимального многочлена — компактное и устойчивое решение:
- Из того же рассуждения по степенному ряду:
$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}{A}^k.$$ Поскольку $(A-I{)}^2=0$, вся сумма сводится к конечной форме выше. Подставив $N=A-I$ получаем удобную выраженную через $A$:
$$e^{tA}=e^t(I+t(A-I))=e^t((1-t)I+tA).$$ Или записав в виде линейного многочлена от $A$:
$$e^{tA}=\alpha (t)I+\beta (t)A,\alpha (t)=e^t(1-t),\beta (t)=e^{t}t.$$ - Это даёт точную, простую и вычислительно дешёвую формулу без необходимости жорданизации.
Численная устойчивость и практический вывод:
- На практике при точных данных самая простая и предпочтительная формула — $e^{tA}=e^t(I+t(A-I))$ (или эквивалентная линейная комбинация $I$ и $A$). Это точно, компактно и эффективно.
- Если данные шумные и условность матрицы высока (приближённо удваивающийся собственный корень), явная жорданизация тоже будет нестабильна; в этом случае для численного вычисления экспоненты иногда применяют надёжные адаптивные методы (scaling-and-squaring с Padé) — но для вашей структуры (минимальный многочлен степени $2$) аналитическая формула остаётся предпочтительной и более простою.
Вывод: самый удобный и устойчивый метод — воспользоваться фактом $(A-I{)}^2=0$ и получить
$$e^{tA}=e^t(I+t(A-I))=e^t((1-t)I+tA).$$