Коротко: возможные ошибки при применении схемы Горнера к делению $(x^3-2x+1)$ на $(x-1)$ и способы их избежать.
1) Пропуск нулевого коэффициента
- Ошибка: записали коэффициенты как $[1,-2,1]$ вместо $[1,0,-2,1]$.
- Как избежать: всегда выписать все коэффициенты при степенях по убыванию, здесь $[1,0,-2,1]$.
2) Неправильный знак для корня $c$
- Ошибка: приняли $c=-1$ (как для $x+1$) вместо $c=1$.
- Как избежать: для делителя $x-c$ брать $c$. Здесь $x-1\Rightarrow c=1$.
3) Неправильный порядок или сдвиг коэффициентов
- Ошибка: записали коэффициенты в обратном порядке или сдвинули строку при сложении.
- Как избежать: фиксировать порядок степеней: первый — коэффициент при $x^3$, потом при $x^2$, и т.д.
4) Арифметические ошибки при умножении/сложении шагов Горнера
- Ошибка: неверно умножили или сложили промежуточные значения.
- Как избежать: проверять каждый шаг; при сомнении перепроверять или использовать проверку в конце.
5) Забытая операция «опустить» ведущего коэффициента
- Ошибка: не перенесли первый коэффициент (или перенесли неверно).
- Как избежать: алгоритм — "перенести, умножить на $c$, сложить" повторять последовательно.
6) Неправильная интерпретация остатка и коэффициентов частного
- Ошибка: взяли не последний элемент как остаток или неверно составили частное.
- Как избежать: при исходном многочлене степени $n$ итоговые значения (кроме последнего) — коэффициенты частного степени $n-1$; последний — остаток.
Пример правильного выполнения (коротко):
- Коэффициенты: $[1,0,-2,1]$, $c=1$.
- Шаги: перенести $1$; $1\cdot 1=1$, $0+1=1$; $1\cdot 1=1$, $-2+1=-1$; $-1\cdot 1=-1$, $1+(-1)=0$.
- Получаем коэффициенты частного $[1,1,-1]$ → частное $x^2+x-1$, остаток $0$.
- Проверка: $f(1)=1-2+1=0$ или $(x^3-2x+1)=(x-1)(x^2+x-1)+0$.
Резюме: избегайте пропусков коэффициентов, неверного выбора $c$, арифметических промахов и неправильной интерпретации итоговых чисел; проверяйте результат подстановкой $x=c$ или умножением.