Коротко — варианты упрощения и интерпретации выражения
$$\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }$$
1) Векторная/фазовая интерпретация:
- Это длина суммы двух векторов (или модуль суммы двух комплексных чисел) длинами $a$ и $b$ с углом $\theta$ между ними:
$$\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }=|\mathbf{u}+\mathbf{v}|,|\mathbf{u}|=a,|\mathbf{v}|=b,\angle (\mathbf{u},\mathbf{v})=\theta ,$$ или в комплексной форме
$$\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }=|a+b{e}^{i\theta }|.$$
2) Закон косинусов (геометрическое толкование как длина стороны треугольника):
- Это третья сторона треугольника, если две стороны равны $a$ и $b$, а включённый угол равен $\pi -\theta$:
$$c=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }=\text{сторона при угле}\pi -\theta .$$
3) Полуугловые алгебраические преобразования (полезны при упрощении подкоренного выражения):
$$\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }=\sqrt{(a+b{)}^2-4ab{\sin }^2\frac{\theta }{2}}=\sqrt{(a-b{)}^2+4ab{\cos }^2\frac{\theta }{2}}.$$ Из первой формы иногда удобно получить произведение:
$$=\sqrt{(a+b-2\sqrt{ab}\sin \frac{\theta }{2})(a+b+2\sqrt{ab}\sin \frac{\theta }{2})}.$$
4) Частные случаи (быстрые оценки):
$$\theta =0:\sqrt{\dots }=a+b;\theta =\pi :\sqrt{\dots }=|a-b|;\theta =\frac{\pi }{2}:\sqrt{\dots }=\sqrt{a^2+b^2}.$$
5) Границы и монотонность:
$$|a-b|\le \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }\le a+b,$$ и выражение монотонно растёт по $\cos \theta$ (при фиксированных $a,b\ge 0$).
6) Приближения (малые углы):
при малом $\theta$ (используя $\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$) получаем
$$\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }\approx (a+b)-\frac{ab}{2(a+b)}{\theta }^2+\dots$$
Когда какой подход предпочтителен:
- Геометрия/треугольники: закон косинусов.
- Векторы/фазовые суммы/электротехника: модуль суммы векторов или комплексная форма $|a+b{e}^{i\theta }|$.
- Алгебраические преобразования, факторизации или анализ подкоренного выражения: полуугловые формы с $\sin (\theta /2)$ или $\cos (\theta /2)$.
- Оценки/неравенства: границы $|a-b|$ и $a+b$.
- Разложения/приближения для малых $\theta$: ряд Тейлора, как указано выше.
Это покрывает основные упрощения и интерпретации; выбирайте тот, который наиболее естествен для вашей задачи.